在△ABC中,∠ACB=90°,∠A<45°,點(diǎn)O為AB中點(diǎn),一個足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合,一邊OE經(jīng)過點(diǎn)C,另一邊OD與AC交于點(diǎn)M.
(1)如圖1,當(dāng)∠A=30°時,求證:MC2=AM2+BC2;
(2)如圖2,當(dāng)∠A≠30°時,(1)中的結(jié)論是否成立?如果成立,請說明理由;如果不成立,請寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論,并說明理由;
(3)將三角形ODE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),若直線OD與直線AC相交于點(diǎn)M,直線OE與直線BC相交于點(diǎn)N,連接MN,則MN2=AM2+BN2成立嗎?
答: (填“成立”或“不成立”)
解:(1)證明:如圖,過A作AF⊥AC交CO延長線于F,連接MF,
∵∠ACB=90°,∴BC∥AF!唷鰾OC∽△AOF。
∴。
∵O為AB中點(diǎn),∴OA=OB!郃F=BC,CO=OF。
∵∠MOC=90°,∴OM是CF的垂直平分線。
∴CM=MF。
在Rt△AMF中,
由勾股定理得:MF2=AM2+AF2=AM2+BC2,
即MC2=AM2+BC2。
(2)還成立。理由如下:
如圖,過A作AF⊥AC交CO延長線于F,連接MF,
∵∠ACB=90°,∴BC∥AF。∴△BOC∽△AOF。
∴。
∵OA=OB,∴AF=BC,CO=OF。
∵∠MOC=90°,∴OM是CF的垂直平分線。
∴CM=MF。
在Rt△AMF中,
由勾股定理得:MF2=AM2+AF2=AM2+BC2,
即MC2=AM2+BC2。
(3)成立
【解析】
試題分析:(1)過A作AF⊥AC交CO延長線于F,連接MF,根據(jù)相似求出AF=BC,CO=OF,求出FM=CM,根據(jù)勾股定理求出即可。
(2)過A作AF⊥AC交CO延長線于F,連接MF,根據(jù)相似求出AF=BC,CO=OF,求出FM=CM,根據(jù)勾股定理求出即可;
(3)結(jié)論依然成立。
如圖,以MN的中點(diǎn)P為圓心,MN為直徑畫圓,則因?yàn)椤螦CB=90°,∠DOE=90°,所以,根據(jù)圓周角定理,O、C在⊙P上。
若MN與AB不平行,設(shè)⊙P與AB交于另一點(diǎn)F,
根據(jù)割線定理,得,
∵點(diǎn)O為AB中點(diǎn),
∴。
兩式相加,得,即。
若MN與AB平行,則易證⊙P與AB相切于點(diǎn)O,
根據(jù)切割線定理,得,即
兩式相加,得,即。
∴不論MN與AB平行與否,總有。
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB2=AC2+BC2,∴。
在Rt△MNC中,由勾股定理得:MN2=CM2+CN2,即,
∴。
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