如圖，已知⊙O是等邊△ABC的外接圓，D是?上一點(diǎn)，BD的延長線交AC的延長線于點(diǎn)E．

求證：AC２＝BD·BE．

 

答案：
解析：

證明：連結(jié)CＤ．

∵四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠BDC＋∠A＝１８０°

又△ABC是等邊三角形

∴∠A＝６０°，∠ACB＝６０°，AC＝BC．

  ∴∠BDC＝１８０°－∠A＝１２０°．

∵∠BCE＝１８０°－∠ACB＝１２０°．

∴∠ECB＝∠CDB  ∵∠CBD＝∠EBC

  ∴△BCD∽△BEC．

∴即BC２＝BD·BE． ∵BC＝AC．  ∴AC２＝BD·BE．

 


提示：

此例是圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)和相似三角形等性質(zhì)綜合應(yīng)用的問題，圓內(nèi)接四邊形內(nèi)角和外角在證明過程中的“橋梁”作用要特別注意．

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知A是等邊三角形PQR的邊RQ的延長線上的點(diǎn)，B是QR延長線上的點(diǎn)，
（1）若∠1+∠2=60°，求證：QR2=AQ•BR．
（2）若AQ=
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QR，當(dāng)RB與QR滿足什么條件時(shí)，△BRP∽△PQA？
（3）△BPQ有可能與△PQA相似嗎？若可能相似，說明應(yīng)滿足什么條件；若不可能相似，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•襄城區(qū)模擬）如圖，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連接DE并延長至點(diǎn)F，使EF=AE，連接AF、BE和CF．
（1）求證：△BCE≌△FDC；
（2）判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•奉賢區(qū)二模）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADE，過點(diǎn)E作BC的平行線，分別交AB，AC的延長線于點(diǎn)F，G，聯(lián)結(jié)BE．
（1）求證：△AEB≌△ADC；
（2）如果BC=CD，判斷四邊形BCGE的形狀，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知O是等邊三角形△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB、∠BOC、∠AOC的度數(shù)之比為6：5：4，在以O(shè)A、OB、OC為邊的三角形中，此三邊所對(duì)的角的度數(shù)是
36°或60°或84°
36°或60°或84°
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接AP、BP，將△ABP旋轉(zhuǎn)后能與△CBP′重合，根據(jù)圖形回答：（1）旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)？
（2）旋轉(zhuǎn)角是幾度？
（3）連接PP′后，△BPP′是什么三角形？

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