Question

【題目】現(xiàn)閱讀下面的材料，然后解答問題：

截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種常見輔助線的做法．在證明線段的和、差、倍、分等問題中有著廣泛的應用．截長法：在較長的線段上截一條線段等于較短線段，而后再證明剩余的線段與另一段線段相等．補短法：就是延長較短線段與較長線段相等，而后證延長的部分等于另一條線段．

請用截長法解決問題（1）

（1）已知：如圖1等腰直角三角形中，，是角平分線，交邊于點．求證：．

請用補短法解決問題（2）

（2）如圖2，已知，如圖2，在中，，是的角平分線．求證：．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）根據截長法，在上截取，連接，通過題目條件可證，進而證得是等腰直角三角形，等量代換即可得；

（2）根據補短法，延長到，使，連接，根據已知條件可證，進而可證，等量代換即可得證．

（1）證明：如圖1，在上截取，連接，

∵是角平分線，

∴

在和中

∴

∴，

又∵是等腰直角三角形，

∴，∴是等腰直角三角形，

∴，

∴．

（2）如圖2，延長到，使，連接，

∵是的角平分線，

∴

在和中

∴，

∴

∵，，

∴，

∴，

∴．