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已知關于x的一元二次方程(a-1)x2-(2a-3)x+a=0有實數根.
(1)求a的取值范圍;
(2)設x1,x2是一元二次方程(a-1)x2-(2a-3)x+a=0的兩個根,且x12+x22=9,求a的值.
分析:(1)若一元二次方程有實數根,則根的判別式△=b2-4ac≥0,建立關于a的不等式,求出a的取值范圍.
(2)利用根與系數的關系化簡x12+x22=9,求出a的值.
解答:解:(1)當a-1=0即a=1時,方程不是一元二次方程;
當a≠1時,由△=b2-4ac≥0,得(2a-3)2-4a(a-1)≥0,
解得a≤
9
8
,
∵a-1≠0,∴a≠1,
則a的取值范圍是a≤
9
8
且a≠1,
(2)∵x1,x2是一元二次方程(a-1)x2-(2a-3)x+a=0的兩個根,
∴x1+x2=
2a-3
a-1
,
x1x2=
a
a-1

又∵x12+x22=9,
∴(x1+x22-2x1x2=9.
2a-3
a-1
2-2×
a
a-1
=9.
整理,得7a2-8a=0,
a(7a-8)=0.
∴a1=0,a2=
8
7
(舍去).
經檢驗0是方程的根.故a=0.
點評:總結:一元二次方程根的情況與判別式△的關系:
(1)△>0?方程有兩個不相等的實數根;
(2)△=0?方程有兩個相等的實數根;
(3)△<0?方程沒有實數根.
本題主要應用根與系數的關系及利用根的判別式確定a值.
練習冊系列答案
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