已知關于x的一元二次方程(a-1)x2-(2a-3)x+a=0有實數根.
(1)求a的取值范圍;
(2)設x1,x2是一元二次方程(a-1)x2-(2a-3)x+a=0的兩個根,且x12+x22=9,求a的值.
分析:(1)若一元二次方程有實數根,則根的判別式△=b2-4ac≥0,建立關于a的不等式,求出a的取值范圍.
(2)利用根與系數的關系化簡x12+x22=9,求出a的值.
解答:解:(1)當a-1=0即a=1時,方程不是一元二次方程;
當a≠1時,由△=b
2-4ac≥0,得(2a-3)
2-4a(a-1)≥0,
解得a≤
,
∵a-1≠0,∴a≠1,
則a的取值范圍是a≤
且a≠1,
(2)∵x
1,x
2是一元二次方程(a-1)x
2-(2a-3)x+a=0的兩個根,
∴x
1+x
2=
,
x
1x
2=
.
又∵x
12+x
22=9,
∴(x
1+x
2)
2-2x
1x
2=9.
(
)
2-2×
=9.
整理,得7a
2-8a=0,
a(7a-8)=0.
∴a
1=0,a
2=
(舍去).
經檢驗0是方程的根.故a=0.
點評:總結:一元二次方程根的情況與判別式△的關系:
(1)△>0?方程有兩個不相等的實數根;
(2)△=0?方程有兩個相等的實數根;
(3)△<0?方程沒有實數根.
本題主要應用根與系數的關系及利用根的判別式確定a值.