Question

（2006•無錫）已知拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的頂點(diǎn)是C（0，1），直線l：y=-ax+3與這條拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M和N．
（1）設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為2，試求直線l的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若線段MP與PN的長度之比為3：1，試求拋物線的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于拋物線的頂點(diǎn)為C（0，1），因此拋物線的解析式中b=0，c=1．即拋物線的解析式為y=ax²+1．已知了P到x軸的距離為2，即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2．可根據(jù)直線l的解析式求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求得a的值，也就能求出直線l的函數(shù)關(guān)系式．
（2）本題要根據(jù)相似三角形來求．已知了線段MP與PN的長度之比為3：1，如果過P作x軸的垂線，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值．進(jìn)而可仿照（1）的方法，先代入直線的解析式，然后再代入拋物線中即可求出a的值，也就求出了拋物線的解析式．
解答：解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)是C（0，1），
∴b=0，c=1，
∴y=ax²+1．
如圖1，∵a＞0，直線l過點(diǎn)N（0，3），
∴M點(diǎn)在x軸正半軸上．
∵點(diǎn)P到x軸的距離為2，
即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2．
把y=2代入y=-ax+3
得，x=，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）．
∵直線與拋物線交于點(diǎn)P，
∴點(diǎn)P在y=ax²+1上，
∴2=a•（）²+1，
∴a=1．
∴直線l的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+3．

（2）如圖1，若點(diǎn)P在y軸的右邊，記為P₁
過點(diǎn)P₁作P₁A⊥x軸于A，
∵∠P₁MA=∠NMO，
∴Rt△MP₁A∽Rt△MNO，
∴．
∵，
∴MP₁=3P₁N，MN=MP₁+P₁N=4P₁N
∴，
即，
∵ON=3，
∴P₁A=，
即點(diǎn)P₁的縱坐標(biāo)為．
把y=代入y=-ax+3，
得x=，
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（，）．
又∵點(diǎn)P₁是直線l與拋物線的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)P₁在拋物線y=ax²+1上，
∴=a•（）²+1，
∴a=．
拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=x²+1．
如圖2，若點(diǎn)P在y軸的左邊，記為P₂．作P₂A⊥x軸于A，
∵∠P₂MA=∠NMO，
∴Rt△MP₂A∽Rt△MNO，
∴=．
∵，
∴MP₂=3P₂N，MN=MP₂-P₂N=2P₂N，
∴，即=，
∵ON=3，
∴P₂A=，即即點(diǎn)P₂的縱坐標(biāo)為．
由P₂在直線l上可求得P₂（-，），
又∵P₂在拋物線上，
∴=a•（-）²+1，
∴a=．
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=x²+1．
點(diǎn)評：本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定以及函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識．