已知a為實常數(shù),關(guān)于x的方程(a2-2a)x2+(4-6a)x+8=0的解都是整數(shù).求a的值.
分析:此題可考慮分2種情況討論:(1)當(dāng)a2-2a=0,可先解出a的值,再把a的值代入方程求解x;(2)當(dāng)a2-2a≠0時,用因式分解可求x1=
2
a
,x2=
4
a-2
,從x1=
2
a
中可求a=
2
x1
,代入x2中,易得x1•x2+2x1-x2=0,變形可得(x1-1)(x2+2)=-2=2×(-1)=(-2)×1=1×(-2)=-1×2,由于x1和x2是整數(shù),那么x1-1和x2+2也是整數(shù),于是可得關(guān)于x1、x2的方程組,解即可求x1、x2(都等于0的情況舍去),進而可求a,聯(lián)合(1)(2)可最終求出a的值.
解答:解:(1)當(dāng)a2-2a=0,即a=2或a=0時有
A、a=2時,x=-2滿足要求;
B、a=0時,x=1也滿足要求;
(2)當(dāng)a2-2a≠0時,
(ax-2)[(a-2)x-4]=0,
解得x1=
2
a
,x2=
4
a-2

∴a=
2
x1
,
∴x2=
4
2
x1
-2
,
∴x1•x2+2x1-x2=0,
∴(x1-1)(x2+2)=-2=2×(-1)=(-2)×1=1×(-2)=-1×2,
∵x1和x2是整數(shù),
∴x1-1和x2+2也是整數(shù),
x1-1=2
x2+2=-1
x1-1=-2
x2+2=1
x1-1=1
x2+2=-2
x1-1=-1
x2+2=2

解得
x1=3
x2-3
x1=-1
x2=-1
x1=2
x2=-4
x1=0
x2=0
(此情況舍去),
∴a=
2
3
;-2;1.
綜合(1)(2)知a=0;1;±2;
2
3
點評:本題考查了一元二次方程的整數(shù)根.解題的關(guān)鍵是要分2種情況討論.有一定的難度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2008年安徽省蕪湖市安師大附中科技特長班招生考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知a為實常數(shù),關(guān)于x的方程(a2-2a)x2+(4-6a)x+8=0的解都是整數(shù).求a的值.

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