Question

如圖，己知雙曲線y＝(x>0)與經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)、B(0，1)的直線交于P、Q兩點(diǎn)，連結(jié)OP、OQ．

(1)求△OPQ的面積．

(2)試說明：△OAQ≌△OBP

(3)若C是OA上不與O、A重合的任意一點(diǎn)，CA＝a(0<a<1)，CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．

①a為何值時(shí)，CE＝AC?

②線段OA上是否存在點(diǎn)C，使CE∥AB?若存在這樣的點(diǎn)，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵A（1,0）B（0,1）

∴OB=OA，∠OBA=∠OAB，直線AB的解析式為y=-x+1

∵雙曲線（x＞0）與經(jīng)過點(diǎn)A，B的直線交于P、Q兩點(diǎn)

∴ 

∵

∴

 (2) 由（1）得

∵A（1,0）B（0,1）

∴PB=AQ

∵OB=OA，∠OBA=∠OAB

∴△OAQ≌△OBP

（3）①解：作DF⊥AO

易得OEFD為矩形

等腰直角三角形ACD中，

∴

在直角三角形EOC中，

若CE=AC，則

∴

解之得或

∵0<a<1

∴

②若CE∥AB，則有∠ECO=∠OEC=∠B=∠A=45°

∴OE=OC=1-a

作DF⊥AO

易得OEFD為矩形

等腰直角三角形ACD中，

∴

∴

解之得

∴

【解析】（1）直接求三角形的面積較繁，此題用補(bǔ)的方法求較容易，把△OPQ補(bǔ)成△AOB

減去△BOP和△AOQ的面積即可

（2）利用點(diǎn)的坐標(biāo)，求出線段長，找出三角形全等的條件

（3）作輔助線，結(jié)合勾股定理，用a的代數(shù)式表示CE，根據(jù)CE＝AC，列出a的方程即可；根據(jù)CE∥AB，等腰三角形的三線合一，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，列出a的方程即可