Question

已知，紙片⊙O的半徑為2，如圖1，沿弦AB折疊操作．

(1)①折疊后的所在圓的圓心為時(shí)，求的長(zhǎng)度；

②如圖2，當(dāng)折疊后的經(jīng)過(guò)圓心為O時(shí)，求的長(zhǎng)度；

③如圖3，當(dāng)弦AB＝2時(shí)，求圓心O到弦AB的距離；

(2)在圖1中，再將紙片⊙O沿弦CD折疊操作．

①如圖4，當(dāng)AB∥CD，折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)O到弦AB．CD的距離之和為d，求d的值；

②如圖5，當(dāng)AB與CD不平行，折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，試探究四邊形OMPN的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)①折疊后的所在圓與⊙O是等圓，可得A的長(zhǎng)度； 　�、谌鐖D2，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，連接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、△OBE為等邊三角形，從而得到的圓心角，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可； 　�、廴鐖D3，連接A．B，過(guò)點(diǎn)作E⊥AB于點(diǎn)E，可得△AB為等邊三角形，根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)可求折疊后求所在圓的圓心到弦AB的距離； 　　(2)①如圖4，與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作EF⊥AB交于于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，根據(jù)垂徑定理及折疊，可求點(diǎn)O到AB．CD的距離之和； 　�、诟鶕�(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可得證． 　　解答：解：(1)①折疊后的所在圓與⊙O是等圓， 　　∴A＝OA＝2； 　�、诋�(dāng)經(jīng)過(guò)圓O時(shí)，折疊后的所在圓在⊙O上，如圖2所示，連接A．OA．B，OB，O 　　∵△OA△OB為等邊三角形， 　　∴∠AB＝∠AO＋∠BO＝60°＋60°＝120° 　　∴＝＝； 　�、廴鐖D3所示，連接OA，OB， 　　∵OA＝OB＝AB＝2， 　　∴△AOB為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E， 　　∴OE＝OA·sin60°＝． 　　(2)①如圖4，當(dāng)折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)， 　　過(guò)點(diǎn)O作EF⊥AB交AB于點(diǎn)H、交于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)G、交于點(diǎn)F， 　　即點(diǎn)E、H、P、O、G、F在直徑EF上， 　　∵AB∥CD， 　　∴EF垂直平分AB和CD， 　　根據(jù)垂徑定理及折疊，可知PH＝PE，PG＝PF， 　　又∵EF＝4， 　　∴點(diǎn)O到AB．CD的距離之和d為： 　　d＝PH＋PG＝PE＋PF＝(PE＋PF)＝2， 　�、谌鐖D5，當(dāng)與不平行時(shí)， 　　四邊形是平行四邊形． 　　證明如下： 　　設(shè)為和所在圓的圓心， 　　∵點(diǎn)與點(diǎn)O關(guān)于AB對(duì)稱，點(diǎn)于點(diǎn)O關(guān)于CD對(duì)稱， 　　∴點(diǎn)M為的O中點(diǎn)，點(diǎn)N為O的中點(diǎn) 　　∵折疊后的與所在圓外切， 　　∴連心線必過(guò)切點(diǎn)P， 　　∵折疊后的與所在圓與⊙O是等圓， 　　∴P＝P＝2，∴PM＝O＝ON，PM＝ON， 　　∴四邊形OMPN是平行四邊形． 　　點(diǎn)評(píng)：綜合考查了相切兩圓的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，垂徑定理，弧長(zhǎng)的計(jì)算，翻折變換(折疊問(wèn)題)，解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，難度較大．

提示：

相切兩圓的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定；垂徑定理；弧長(zhǎng)的計(jì)算；翻折變換(折疊問(wèn)題)；解直角三角形．