Question

11．如圖，在矩形ABCD中，AC是對(duì)角線，E是AC的中點(diǎn)，過(guò)E作MN交AD于M，交BC于N．
（1）求證：AM=CN；
（2）若∠CEN=90°，EN：AB=2：3，EC=3，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）證明△AME≌△CNE，即可得出結(jié)論；
（2）證明△CEN∽△CBA，得出對(duì)應(yīng)邊成比例．即可求出BC的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，B=90°，
∴∠MAE=∠NCE，∠AME=∠CNE，
∵E是AC的中點(diǎn)，
∴AE=CE，
在△AME和△CNE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠NCE}&{\;}\\{∠AME=∠CNE}&{\;}\\{AE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△CNE（AAS），
∴AM=CN；
（2）解：∵∠CEN=∠B=90°，∠ECN=∠BCA，
∴△CEN∽△CBA，
∴$\frac{CE}{CB}=\frac{EN}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
即$\frac{3}{BC}=\frac{2}{3}$，
解得：BC=4.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．