已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的對稱軸為x=-1,交x軸的一個交點為(x1,0),且0<x1<1,則下列結論:①b>0,c<0;②a-b+c>0;③b<a;④3a+c>0;⑤9a-3b+c>0,其中正確的命題有幾個( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】
分析:先充分挖掘圖象所給出的信息,包括對稱軸、開口方向、與坐標軸的交點、頂點位置等,然后根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)解題.
解答:![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103000940928134806/SYS201311030009409281348009_DA/images0.png)
解:如圖所示:①∵開口向上,
∴a>0,
又∵對稱軸在y軸左側(cè),
∴-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103000940928134806/SYS201311030009409281348009_DA/0.png)
<0,
∴b>0,
又∵圖象與y軸交于負半軸,
∴c<0,正確.
②由圖,當x=-1時,y<0,
把x=-1代入解析式得:a-b+c<0,錯誤.
③∵對稱軸在x=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103000940928134806/SYS201311030009409281348009_DA/1.png)
左側(cè),
∴-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103000940928134806/SYS201311030009409281348009_DA/2.png)
<-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103000940928134806/SYS201311030009409281348009_DA/3.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103000940928134806/SYS201311030009409281348009_DA/4.png)
>1,
∴b>a,錯誤.
④由圖,x
1x
2>-3×1=-3;根據(jù)根與系數(shù)的關系,x
1x
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103000940928134806/SYS201311030009409281348009_DA/5.png)
,
于是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103000940928134806/SYS201311030009409281348009_DA/6.png)
>-3,故3a+c>0,正確.
⑤由圖,當x=-3時,y>0,
把x=-3代入解析式得:9a-3b+c>0,正確.
所以其中正確的有①④⑤,故選B.
點評:二次函數(shù)y=ax
2+bx+c系數(shù)符號的確定:
(1)a由拋物線開口方向確定:開口方向向上,則a>0,否則a<0;
(2)b由對稱軸和a的符號確定:由對稱軸公式x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103000940928134806/SYS201311030009409281348009_DA/7.png)
判斷符號;
(3)c由拋物線與y軸的交點確定:交點在y軸正半軸,則c>0,否則c<0;
(4)b
2-4ac由拋物線與x軸交點的個數(shù)確定:2個交點,b
2-4ac>0;1個交點,b
2-4ac=0;沒有交點,b
2-4ac<0.