Question

如圖，ABCD是矩形，將它沿對角線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E上，AD與BE相交于點(diǎn)F．
（1）求證：FA=FE；
（2）四邊形ABDE是什么特殊的四邊形？請加以證明．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠C=90°，AB=CD，
由折疊的性質(zhì)可得：DE=CD，∠DEF=∠C，
∴∠BAF=∠DEF，AB=ED，
∵∠AFB=∠EFD，
∴△AFB≌△EFD（AAS），
∴FA=FE；

（2）四邊形ABDE是等腰梯形．
理由：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FDB=∠DBC，
∵∠FBD=∠DBC，
∴∠FDB=∠FBD，
∵FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠FAE=∠FDB，
∴AE∥BD，
∵AB=DE，
∴四邊形ABDE是等腰梯形．
分析：（1）由四邊形ABCD是矩形與折疊的性質(zhì)，易證得△AFB≌△EFD，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可得FA=FE；
（2）由AD∥BC與∠FBD=∠DBC，可得∠FDB=∠FBD，又由FA=FE，根據(jù)等邊對等角，可得∠FAE=∠FEA，又由對頂角相等，可得∠FAE=∠FDB，證得AE∥BD，又由AB=DE，則可得四邊形ABDE是等腰梯形．
點(diǎn)評：此題考查了矩形的性質(zhì)，等腰梯形的判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)難度適中，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．