Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線l1：y=kx+4與y軸交于點A，與x軸交于點B．

（1）請直接寫出點A的坐標：______；

（2）點P為線段AB上一點，且點P的橫坐標為m，現(xiàn)將點P向左平移3個單位，再向下平移4個單位，得點P′在射線AB上．

①求k的值；

②若點M在y軸上，平面內有一點N，使四邊形AMBN是菱形，請求出點N的坐標；

③將直線l1繞著點A順時針旋轉45°至直線l2，求直線l2的解析式．

Answer 1

【答案】（1）（0，4）；（2）①k=；②N（-3，）；③直線l2的解析式為y=x+4．

【解析】

（1）令，求出相應的y值，即可得到A的坐標；

（2）①先設出P的坐標，然后通過點的平移規(guī)律得出平移后 的坐標，然后將代入 中即可求出k的值；

②作AB的中垂線與y軸交于M點，連結BM，分別作AM，BM的平行線，相交于點N，則四邊形AMBN是菱形, 設M（0，t），然后利用勾股定理求出t的值，從而求出OM的長度，然后利用BN=AM求出BN的長度，即可得到N的坐標；

③先根據(jù)題意畫出圖形，過點B作BC⊥l1，交l2于點C，過點C作CD⊥x軸于D，利用等腰三角形的性質和AAS證明△AOB≌△BDC，得出AO=BD，OB=DC，進一步求出點C的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求出直線l2的解析式．

（1）∵y=kx+4與y軸交于點A，

令， ，

∴A（0，4）．

（2）①由題意得：P（m，km+4），

∵將點P向左平移3個單位，再向下平移4個單位，得點P′，

∴P′（m-3，km），

∵P′（m-3，km）在射線AB上，

∴k（m-3）+4=km，

解得：k=．

②如圖，作AB的中垂線與y軸交于M點，連結BM，過點B作AM的平行線，過點A作BM的平行線，兩平行線相交于點N，則四邊形AMBN是菱形．

，

，

當 時，，解得 ，

∴ ．

設M（0，t），則AM=BM=4-t，

在Rt△BOM中，OB2+OM2=BM2，

即32+t2=（4-t）2，

解得：t=，

∴M（0，），

∴OM=，BN=AM=4-=，

∴N（-3，）．

③如圖，過點B作BC⊥l1，交l2于點C，過點C作CD⊥x軸于D．則∠ABC=∠BDC=90°，

∵∠BAC=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=BC，∠ABO+∠CBD=90°，

又∵∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠BAO=∠CBD，

在和中，

∴△AOB≌△BDC（AAS），

∴AO=BD=4，OB=DC=3，

∴OD=OB+BD=3+4=7，

∴C（-7，3），

設直線 l2的解析式為：y=ax+4，

則-7a+4=3，

解得：a=．

∴直線 l2的解析式為：y=x+4．