Question

如圖，已知C是線段AB上的任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），分別以AC、BC為斜邊并且在AB的同一側(cè)作等腰直角△ACD和△BCE，連接AE交CD于點(diǎn)M，連接BD交CE于點(diǎn)N，給出以下三個(gè)結(jié)論：①M(fèi)N∥AB；②=+；③MN≤AB，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：（1）用平行線分線段成比例定理；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，化簡(jiǎn)分式可得；
（3）要利用二次函數(shù)最值即可求解．
解答：解：（1）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，∴①
∵CE∥AD，
∴△AMD∽△EMC，∴②
∵等腰直角△ACD和△BCE，
∴CD=AD，BE=CE，
∴，
∴MN∥AB；

（2）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，
∴，
設(shè)=k，
則CN=kNE，DN=kNB，
∵M(jìn)N∥AB，
∴==，
==，
∴+=1，
∴=+；

（3）∵=+，
∴MN==，
設(shè)AB=a（常數(shù)），AC=x，
則MN=x（a-x）=-（x-a）²+a≤a．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、比例變形及二次函數(shù)的應(yīng)用．