Question

在△ABC中，AB=m•AC，∠BAC=90°，BD是中線，AE⊥BD交BC于點E．

（1）如圖1，當m=1時，探究BE與EC的數(shù)量關系，并加以證明；
（2）如圖2，當m≠1時，探究BE與EC的數(shù)量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點A作AG∥BC與BD的延長線相交于點G，則可得到三角形ADG全等于三角形BDC，設AD=DC=1，分別算出BF，DF的長，利用△BEF∽△GAF的相似比可求得BE的長度，從而求得EC的長度，可求BE=2EC．
（2）仿照第1問求解．
解答：解：（1）BE=2EC．
證明：過點A作AG∥BC與BD的延長線相交于點G，
∴∠GAD=∠C，∠G=∠FBE，
∵BD是中線，∴AD=CD，
∵∠ADG=∠CDB，
∴△ADG≌△BDC．
∴∠G=∠FBE，AG=BC．
設AD=DC=1，
則AB=2，BD==，BC=2．
∴AF=1×2÷=．
∴BF==，DF==．
∴GF=，
∵∠G=∠FBE，∠GAF=∠BEF，
∴△BEF∽△GAF，
∴BE=2×÷=，
∴CE=，
∴BE=2CE．

（2）BE=2m²CE．
證明：過點A作AG∥BC與BD的延長線相交于點G，
∴∠GAD=∠C，∠G=∠FBE，
∵BD是中線，∴AD=CD，
∴△ADG≌△BDC．
∴AG=BC．
設AD=DC=1，
則AB=2m，BD=，BC=2．
∴AF=1×2m÷．
∴BF==，GF=BG-BF=2BD-BF=．
∵∠G=∠FBE，∠GAF=∠BEF，
∴△BEF∽△GAF，
∴BE：AG=BF：GF=
∵AG=BC，
∴BE：BC=，
∴BE：CE=2m²：1，
∴BE=2m²CE．
點評：本題計算量大，難度大，綜合考查三角形全等的判定與性質，三角形相似的判定與性質及勾股定理等知識．