Question

【題目】如圖，在中，按下列步驟作圖：

①以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，交于點(diǎn)．交于點(diǎn)；

②再分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)；

③作射線交于；

④過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)；

⑤連接，．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）2

【解析】

（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）作PH⊥AD于H，根據(jù)四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，從而得到PH= ，DH=5，然后利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可．

（1）證明：由作圖知BA=BE，∠ABF=∠EBF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EBF=∠AFB，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF=BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
又AB=BE，
∴四邊形ABEF是菱形；
（2）作PH⊥AD于H，

∵四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，
∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF，
∴AP=AB=2，
∴PH=，DH=5，
∴DP==