Question

已知二次函數(shù)y=x²-（2k-1）x+k²-k   （k為常數(shù)）
（1）若該拋物線的對稱軸為x=

3

2

，求該拋物線的頂點坐標；
（2）小明說：“不論k取何值時，該拋物線與x軸總有兩個交點”，你同意這種說法嗎？請說明理由；
（3）求出該拋物線與坐標軸的交點（用k的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對稱軸方程可求出k的值，得到拋物線的解析式為y=x²-3x+2，然后配方得到頂點式，可確定頂點坐標；
（2）計算出△=1，然后根據(jù)△的意義進行判斷；
（3）令y=0得到關于x的一元二次方程x²-（2k-1）x+k²-k=0，然后利用求根公式法解方程即可得到拋物線與坐標軸的交點坐標．

解答：解：（1）∵對稱軸為直線x=-

-(2k-1)

2

=

3

2

，
∴k=2，
∴拋物線的解析式為y=x²-3x+2=（x-

3

2

）²-

1

4

，
∴拋物線的頂點坐標為（

3

2

，-

1

4

）；

（2）同意．理由如下：
∵△=（2k-1）²-4（k²-k）=1＞0，
∴不論k取何值時，該拋物線與x軸總有兩個交點；

（3）令y=0，則x²-（2k-1）x+k²-k=0，
∵△=1，
∴x=

2k-1± 1

2×1

，解得x₁=k，x₂=k-1，
∴該拋物線與坐標軸的交點為（k，0）、（k-1，0）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當a＞0，拋物線開口向上；頂點式y(tǒng)=a（x--

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

，對稱軸為直線x=-

b

2a

；頂點坐標為（--

b

2a

，

4ac-b2

4a

）；當b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點；當b²-4ac=0，拋物線與x軸有一個交點；當b²-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點．