Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在y軸的負(fù)半軸上，且|AB|=6，cos∠OBM=，點(diǎn)C是M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．
（1）求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線(xiàn)CD交x軸于點(diǎn)E，在線(xiàn)段OB的垂直平分線(xiàn)上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線(xiàn)CD的距離等于點(diǎn)P到原點(diǎn)的O距離；
（3）在直線(xiàn)CD上方（1）中的拋物線(xiàn)（不包括C、D）上是否存在點(diǎn)N，使四邊形NCOD的面積最大？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)及該四邊形面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）易知A（-2，0），B（4，0），C（0，8）．
設(shè)拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x+2）（x-4）．
將C（0，8）代入，得a=-1．
∴過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為：y=-x²+2x+8．
y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
∴頂點(diǎn)為D（1，9）．

（2）如圖1，假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，依題意，設(shè)P（2，t）．
由C（0，8），D（1，9）得直線(xiàn)CD的函數(shù)表達(dá)式為：y=x+8．
設(shè)直線(xiàn)CD交x軸于點(diǎn)E，則E（-8，0）．
∴CO=8=OE，∴∠DEO=45°．
設(shè)OB的中垂線(xiàn)交CD于H，交x軸于點(diǎn)G．
∴在Rt△HPF中，∠FHP=45°=∠HPF．
點(diǎn)P到CD的距離PF=|10-t|．
又PO==．
∵PF=PO，
∴=|10-t|．
化簡(jiǎn)，得t²+20t-92=0，
解得t=-10±．
∴存在點(diǎn)P₁（2，-10+），P₂（2，-10-）滿(mǎn)足條件．

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)N作直線(xiàn)NQ∥x軸交CD于點(diǎn)Q．設(shè)N（k，-k²+2k+8）．
∵直線(xiàn)CD的函數(shù)表達(dá)式為y=x+8，
∴Q（-k²+2k，-k²+2k+8）．
∴QN=|-k²+2k-k|=-k²+k．
S_△CND=S_△NQD+S_△NQC
=NQ•|y_D-y_Q|+NQ•|y_Q-y_C|
=（-k²+k）•|9-（-k²+2k+8）|+（-k²+k）•|-k²+2k+8-8|
=（-k²+k）（9+k²-2k-8-k²+2k）
=（-k²+k）．
而S_{四邊形NCOD}=S_△CND+S_△COD
=（-k²+k）+CO•|x_D|
=（-k²+k）+ 8×1
=-k²+k+4
=-（k-）²+．
∴當(dāng)k=時(shí)，四邊形面積的最大為，
此時(shí)N（k，-k²+2k+8）點(diǎn)坐標(biāo)為：（，）．
分析：（1）利用圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，依題意，設(shè)P（2，t），得出點(diǎn)P到CD的距離PF=|10-t|，再利用PO==，求出t即可；
（3）根據(jù)過(guò)點(diǎn)N作直線(xiàn)NQ∥x軸交CD于點(diǎn)Q，設(shè)N（k，-k²+2k+8），得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出QN長(zhǎng)度，進(jìn)而得出S_△CND=S_△NQD+S_△NQC，又S_{四邊形NCOD}=S_△CND+S_△COD，得出當(dāng)k=時(shí)，四邊形面積的最大．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用S_{四邊形NCOD}=S_△CND+S_△COD得出關(guān)于k的二次函數(shù)，進(jìn)而得出最值是解題關(guān)鍵．