Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的直角頂點(diǎn)A在x軸上，OA=4，AB=3．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度，沿AO向終點(diǎn)O移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1.25個(gè)單位長度的速度，沿OB向終點(diǎn)B移動(dòng)．當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒（0＜x＜4）時(shí)，解答下列問題：

（1）求點(diǎn)N的坐標(biāo)（用含x的代數(shù)式表示）；

（2）設(shè)△OMN的面積是S，求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式；當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？

（3）在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】相似形綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于P，則NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得出比例式，求出OP、PN，即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（2）由三角形的面積公式得出S是x的二次函數(shù)，即可得出S的最大值；

（3）分兩種情況：①若∠OMN=90°，則MN∥AB，由平行線得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；

②若∠ONM=90°，則∠ONM=∠OAB，證出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可．

【解答】解：（1）根據(jù)題意得：MA=x，ON=1.25x，

在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB===5，

作NP⊥OA于P，如圖1所示：

則NP∥AB，

∴△OPN∽△OAB，

∴，

即，

解得：OP=x，PN=，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是（x，）；

（2）在△OMN中，OM=4﹣x，OM邊上的高PN=，

∴S=OM•PN=（4﹣x）•=﹣x²+x，

∴S與x之間的函數(shù)表達(dá)式為S=﹣x²+x（0＜x＜4），

配方得：S=﹣（x﹣2）²+，

∵﹣＜0，

∴S有最大值，

當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值，最大值是；

（3）存在某一時(shí)刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：

分兩種情況：①若∠OMN=90°，如圖2所示：

則MN∥AB，

此時(shí)OM=4﹣x，ON=1.25x，

∵M(jìn)N∥AB，

∴△OMN∽△OAB，

∴，

即，

解得：x=2；

②若∠ONM=90°，如圖3所示：

則∠ONM=∠OAB，

此時(shí)OM=4﹣x，ON=1.25x，

∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，

∴△OMN∽△OBA，

∴，

即，

解得：x=；

綜上所述：x的值是2秒或秒．

【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、坐標(biāo)與圖形特征、直角三角形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算、求二次函數(shù)的解析式以及最值等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（3）中，需要進(jìn)行分類討論，通過證明三角形相似才能得出結(jié)果．