Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，∠A=90°，∠ABC=105°．若AB=5 ，則△ABD外心與△BCD外心的距離為何？（　　）
A.5
B.5
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：如圖，連接AC，作DF⊥BC于F，AC與BD、DF交于點E、G．
∵AB=AD，CB=CD，
∴AC垂直平分BD，
∵∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠ABC=105°，
∴∠CBD=60°，∵CB=CD，
∴△BCD是等邊三角形，△ABD是等腰直角三角形，
∴點E是△BAD的外心，點G是△BCD的外心，
在RT△ABD中，∵AB=AD=5 ，∴BD=10 ，∴BE=DE=5 ，在RT△EDG中，∵∠DEG=90°，∠EDG=30°，ED=5 ，∴tan30°= ，
∴EG=5．
∴△ABD外心與△BCD外心的距離為5．
故選A．

【考點精析】本題主要考查了三角形的外接圓與外心的相關知識點，需要掌握過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心才能正確解答此題．