【答案】
分析:首先根據(jù)題意設
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022155254861881231/SYS201310221552548618812013_DA/0.png)
,即可將四位數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022155254861881231/SYS201310221552548618812013_DA/1.png)
表示為100x+y=(x+y)
2,根據(jù)完全平方數(shù)與整除的性質(zhì)求解即可.
解答:解:設
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022155254861881231/SYS201310221552548618812013_DA/2.png)
,
則100x+y=(x+y)
2,
故x
2+(2y-100)x+(y
2-y)=0有整數(shù)解,
由于10<x<100,故y≠0.
因此△
x=(2y-100)
2-4(y
2-y)=4(2500-99y)是完全平方數(shù),
可設t
2=2500-99y,
故99y=(50-t)(50+t),0≤50-t<50+t之和為100,
而且其中有11的倍數(shù),只能有50-t=1或50-t=45,
相應得到y(tǒng)=1,25,代入解得
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因此
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022155254861881231/SYS201310221552548618812013_DA/4.png)
=9801或2025或3025.
點評:此題考查了數(shù)字與其數(shù)位上數(shù)字的關(guān)系以及完全平方數(shù)的性質(zhì).此題難度比較大,解題時要注意題目的要求.