Question

已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．下列結(jié)論①BF⊥AC，②CE²=2BE²，③AB²=2FG²．其中正確的是

1. A.
   ①②
2. B.
   ①③
3. C.
   ②③
4. D.
   ③

Answer 1

C
分析：①由于過(guò)直線上一點(diǎn)只有一條直線與這條直線垂直，因?yàn)镋F⊥AC于F，所以BF不可能垂直于AC；
②根據(jù)四邊形ABCD是正方形可得出∠ACB=90°，由勾股定理可得出CE²=2EF²，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到EF=BE，進(jìn)而可得出結(jié)論；
③根據(jù)AE是∠BAC的平分線可得到EF=EB，再由正方形的性質(zhì)及勾股定理可得到AF²=2FG²，利用等量代換即可得出結(jié)論．
解答：①∵過(guò)直線上一點(diǎn)只有一條直線與這條直線垂直，
∵EF⊥AC于F，
∴BF⊥AC不成立；
②∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵EF⊥AC，
∴∠CFE=90°，
∴EF=CF，
∵CE²=EF²+CF²，
∴CE²=2EF²，
∵AE是∠BAC的平分線，
∴EF=BE，
∴CE²=2BE²，故此結(jié)論成立；
③∵AE是∠BAC的平分線，EF⊥AC，EB⊥AB，
∴EF=EB，
∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEB，
∴AF=AB，
∵FG⊥AB，∠CAB=45°，
∴AG=FG，
∴AF²=2FG²，
∴AB²=2FG²，故此結(jié)論成立．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是正方形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)，涉及面較廣，難度適中．