Question

把兩個(gè)全等的等腰直角三角板ABC和EFG(其直角邊長均為4)疊放在一起(如圖①)，且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合．現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°＜α＜90°)，四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分(如圖②)．

(1)在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

(2)連接HK，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)BH＝x，△GKH的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的？若存在，求出此時(shí)x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)BH＝CK，四邊形CHGK的面積不變，∵△ABC為等腰直角三角形，O為其斜邊中點(diǎn)， 　　∴CG＝BG，CG⊥AB，∴∠ACG＝∠B＝45°． 　　又∵∠BGH與∠CGK均為旋轉(zhuǎn)角，∴∠BGH＝∠CGK 　　△BGH≌△CGK，∴BH＝CK，S△BGH＝S△CGK 　　∴S四邊形CHGK＝S△CHG＋S△CGK＝S△CHG＋S△BGH＝4 　　(2)AC＝BC＝4，BH＝x 　　CH＝4－x，CK＝x 　　∴S△GKH＝S四邊形CHGK－S△CHK 　　∴y＝4－x(4－x) 　　∴y＝x2－2x＋4 　　∵0°＜α＜90° 　　∴0＜x＜4 　　(3)存在x2－2x＋4＝×8 　　∴x1＝1，x2＝3 　　∴x＝1或x＝3時(shí)，△GHK的面積均等于△ABC的面積的．