精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
如圖，拋物線y=x2-4x-1頂點為D，與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C．
（1）求這條拋物線的頂點D的坐標；
（2）經過點（0，4）且與x軸平行的直線與拋物線y=x2-4x-1相交于M、N兩點（M在N的左側），以MN為直徑作⊙P，過點D作⊙P的切線，切點為E，求點DE的長；
（3）上下平移（2）中的直線MN，以MN為直徑的⊙P能否與x軸相切？如果能夠，求出⊙P的半徑；如果不能，請說明理由．

【答案】分析：（1）利用配方法即可將函數解析式變形為：y=（x-2）2-5，由頂點式即可求得這條拋物線的頂點D的坐標；
（2）由經過點（0，4）且與x軸平行的直線與拋物線y=x2-4x-1相交于M、N兩點（M在N的左側），即可求得M與N的坐標，即可求得P的坐標，然后即可求得PE與PD的長，根據切線的性質，由勾股定理即可求得DE的長；
（3）根據已知，可得點P的橫坐標為2，又由以MN為直徑的⊙P與x軸相切，可得拋物線過點（2+r，r）或（2+r，-r），將點的坐標代入解析式即可求得r的值，則可證得以MN為直徑的⊙P能與x軸相切．
解答：解：（1）∵y=x2-4x-1=x2-4x+4-5=（x-2）2-5，
∴點D的坐標為（2，-5）；

（2）∵當y=4時，x2-4x-1=4，
解得x=-1或x=5，
∴M坐標為（-1，4），點N坐標為（5，4），
∴MN=6．P的半徑為3，點P的坐標為（2，4），
連接PE，則PE⊥DE，
∵PD=9，PE=3，
根據勾股定理得DE=6；

（3）能夠相切．
理由：設⊙P的半徑為r，根據拋物線的對稱性，拋物線過點（2+r，r）或（2+r，-r），
代入拋物線解析式得：（2+r）2-4（2+r）-1=r，
解得r=或r=（舍去）．
點評：此題考查了二次函數的一般式與頂點式的轉化，還考查了圓的切線的性質等知識，是二次函數的綜合題型．此題綜合性很強，注意數形結合與方程思想的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，拋物線y=x2+4x與x軸分別相交于點B、O，它的頂點為A，連接AB，AO．
（1）求點A的坐標；
（2）以點A、B、O、P為頂點構造直角梯形，請求一個滿足條件的頂點P的坐標．

查看答案和解析>>

科目：初中數學 來源： 題型：

16、如圖，拋物線y=-x2+2x+m（m＜0）與x軸相交于點A（x1，0）、B（x2，0），點A在點B的左側．當x=x2-2時，y
＜
0（填“＞”“=”或“＜”號）．

查看答案和解析>>

科目：初中數學 來源： 題型：

已知如圖，拋物線y=x2+（k2+1）x+k+1的對稱軸是直線x=-1，且頂點在x軸上方．設M是直線x=-1左側拋物線上的一動點，過點M作x軸的垂線MG，垂足為G，過點M作直線x=-1的垂線MN，垂足為N，直線x=-1與x軸的交于H點，若M點的橫坐標為x，矩形MNHG的周長為l．
（1）求出k的值；
（2）寫出l關于x的函數解析式；
（3）是否存在點M，使矩形MNHG的周長最��？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中數學 來源： 題型：

（2013•揚州）如圖，拋物線y=x2-2x-8交y軸于點A，交x軸正半軸于點B．
（1）求直線AB對應的函數關系式；
（2）有一寬度為1的直尺平行于y軸，在點A、B之間平行移動，直尺兩長邊所在直線被直線AB和拋物線截得兩線段MN、PQ，設M點的橫坐標為m，且0＜m＜3．試比較線段MN與PQ的大�。�

查看答案和解析>>

科目：初中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，拋物線y=x2-2x-3與x軸分別交于A，B兩點．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）求拋物線頂點M關于x軸對稱的點M′的坐標，并判斷四邊形AMBM′是何特殊平行四邊形．（不要求說明理由）

查看答案和解析>>

同步練習冊答案