Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D是半圓O的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)H，連接DC，AC．
（1）求證：∠AEC=90°；
（2）試判斷以點(diǎn)A，O，C，D為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）若DC=2，求DH的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵EC與⊙O切點(diǎn)C，

∴OC⊥EC，

∴∠OCE=90°，

∵點(diǎn)CD是半圓O的三等分點(diǎn)，

∴ = = ，

∴∠DAC=∠CAB，

∵OA=OC，

∴∠CAB=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AE∥OC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

∴∠AEC+∠OCE=180°，

∴∠AEC=90°

（2）解：四邊形AOCD為菱形．

理由是：

∵ = ，

∴∠DCA=∠CAB，

∴CD∥OA，

又∵AE∥OC，

∴四邊形AOCD是平行四邊形，

∵OA=OC，

∴平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）

（3）解：連接OD．

∵四邊形AOCD為菱形，

∴OA=AD=DC=2，

∵OA=OD，

∴OA=OD=AD=2，

∴△OAD是等邊三角形，

∴∠AOD=60°，

∵DH⊥AB于點(diǎn)F，AB為直徑，

∴DH=2DF，

在Rt△OFD中，sin∠AOD= ，

∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°= ，

∴DH=2DF=2 ．

【解析】（1）連接OC，根據(jù)EC與⊙O切點(diǎn)C，則∠OCE=90°，由題意得 = = ，∠DAC=∠CAB，即可證明AE∥OC，則∠AEC+∠OCE=180°，從而得出∠AEC=90°；（2）四邊形AOCD為菱形．由（1）得 = ，則∠DCA=∠CAB可證明四邊形AOCD是平行四邊形，再由OA=OC，即可證明平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；（3）連接OD．根據(jù)四邊形AOCD為菱形，得△OAD是等邊三角形，則∠AOD=60°，再由DH⊥AB于點(diǎn)F，AB為直徑，在Rt△OFD中，根據(jù)sin∠AOD= ，求得DH的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解切線的性質(zhì)定理(切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑)，還要掌握解直角三角形(解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法))的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．