Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，點(diǎn)D在AC上，CD=3cm．P，Q兩點(diǎn)分別從A，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿AC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒kcm，行完AC全程需8s；點(diǎn)Q沿CB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1cm．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為xs（0＜x＜8），△DCQ的面積為y₁cm²，△PCQ的面積為y₂cm²．
（1）求y₁與x的函數(shù)關(guān)系，并在圖2中畫(huà)出y₁的圖象；
（2）圖2所示的拋物線是y₂的圖象，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，10），求圖1中AB的長(zhǎng)；
（3）在圖2中，點(diǎn)G是x軸正半軸上一點(diǎn)（0＜OG＜6），過(guò)G作EF垂直于x軸，分別交y₁，y₂于點(diǎn)E，F(xiàn)．
①說(shuō)出線段EF的長(zhǎng)在圖1中所表示的幾何意義；
②P，Q兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△PDQ的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和△PDQ的最大面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了CD=3cm，根據(jù)Q點(diǎn)的速度可以用時(shí)間x表示出CQ的長(zhǎng)，可根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式得出y₁，x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）可先求出y₂的函數(shù)式，然后根據(jù)其頂點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)確定k的取值．已知了P點(diǎn)走完AC用時(shí)8s，因此AC=8k，而AP=kx，CQ=x，那么可根據(jù)三角形的面積公式列出關(guān)于y₂，x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出k的值；
（3）EF其實(shí)就是y₂-y₁，也就是△PCQ和△CDQ的面積差即△PDQ的面積．得出EF的函數(shù)關(guān)系式后，根據(jù)自變量的取值以及函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PDQ的最大值．
解答：解：（1）∵S_△DCQ=•CQ•CD，CD=3cm，CQ=xcm，
∴y₁=x．圖象如圖所示；

（2）S_△PCQ=•CQ•CP，CP=（8k-xk）cm，CQ=xcm，
∴y₂=×（8k-kx）•x=-kx²+4kx．
∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4，10），
∴-k•4²+4k•4=10．
解得k=．
則點(diǎn)P的速度每秒cm，
∴AC=×8=10cm，BC=8cm，
∴AB==2（cm）；

（3）①觀察圖象，知線段的長(zhǎng)EF=y₂-y₁，表示△PCQ與△DCQ的面積差（或△PDQ面積）．
②存在．
理由：由（2）得y₂=-x²+5x．
∴S_△PDQ=EF=-x²+5x-x=-x²+x，
∵二次項(xiàng)系數(shù)小于0，
∴在0＜x＜6范圍，
當(dāng)x=-=時(shí)，S_△PDQ最大，S_△PDQ=．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道涉及二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角形的有關(guān)知識(shí)且包含動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的綜合題．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．