探究題
如圖是我國古代數(shù)學家楊輝最早發(fā)現(xiàn)的,稱為“楊輝三角”.它的發(fā)現(xiàn)比西方要早五百年左右,由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的!“楊輝三角”中有許多規(guī)律,如它的每一行的數(shù)字正好對應了(a+b)
n(n為非負整數(shù))的展開式中按a次冪從大到小排列的項的系數(shù).規(guī)定任何非零數(shù)的零次冪為1,如(a+b)
0=1.例如,
(a+b)
1=a+b展開式中的系數(shù)1、1恰好對應圖中第二行的數(shù)字;
(a+b)
2=a
2+2ab+b
2展開式中的系數(shù)1、2、1恰好對應圖中第三行的數(shù)字;
(a+b)
3=a
3+3a
2b+3ab
2+b
3展開式中的系數(shù)1、3、3、1恰好對應圖中第四行的數(shù)字.
(1)請認真觀察此圖,寫出(a+b)
4的展開式,(a+b)
4=
a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
.
(2)類似地,請你探索并畫出(a-b)
0,(a-b)
1,(a-b)
2,(a-b)
3的展開式中按a次冪從大到小排列的項的系數(shù)對應的三角形.
(3)探究解決問題:已知a+b=3,a
2+b
2=5,求ab的值.