【答案】
分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式，可得拋物線的對稱軸方程，進(jìn)而可根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，已知OB=OC，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式．
（2）點(diǎn)P為直線AE和拋物線的交點(diǎn)，欲求點(diǎn)P，必須先求出直線AE的解析式；設(shè)直線AE與y軸的交點(diǎn)為F，易得△FOA∽△FEC，由于OA=1，EC=3，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得到FE=3OF，設(shè)OF=x，則EF=3x，AF=3x-1，進(jìn)而可在Rt△FOA中求出x的值，也就能求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線AE的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）此題應(yīng)分三種情況討論：
①當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時(shí)，可設(shè)M（a，a-3），由于ON是由OM旋轉(zhuǎn)90°而得，因此△OMN是等腰直角三角形，分別過M、N作MG、NH垂直于x軸，即可證得△OMG≌△NOH，得MG=OH，NH=OG，由此可表示出N點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求得點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)M在第三象限，④點(diǎn)M在第四象限時(shí)，解法同①．
解答：解：（1）由題意知：拋物線的對稱軸為：x=1，則B（3，0）；
已知OB=OC=3，則C（0，-3）；
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），依題意有：
a（0-1）（0-3）=-3，a=-1；
故拋物線的解析式為：y=-x
2+4x-3．
（2）設(shè)AE交y軸于點(diǎn)F；
易證得△FOA∽△FEC，有
，
設(shè)OF=x，則EF=3x，
所以FA=3x-1；
在Rt△FOA中，由勾股定理得：
（3x-1）
2=x
2+1，
解得x=
；
即OF=
，F(xiàn)（0，
）；
求得直線AE為y=-
x+
，聯(lián)立拋物線的解析式得：
，
解得
，
；
故點(diǎn)P（
）．
（3）∵B（3，0），C（0，-3），
∴直線BC：y=x-3；
設(shè)點(diǎn)M（a，a-3），則：
①當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時(shí)，OG=a，MG=a-3；
過M作MG⊥x軸于G，過N作NH⊥x軸于H；
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠MON=90°，OM=ON，
則可證得△MOG≌△NOH，得：
OG=NH=a，OH=MG=a-3，
故N（a-3，-a），
將其代入拋物線的解析式中，得：
-（a-3）
2+4（a-3）-3=-a，
整理得：a
2-11a+24=0，
a=3（舍去），a=8；
故M（8，5），N（5，-8）．
②當(dāng)點(diǎn)M在第三象限時(shí)，OG=-a，MG=3-a；
同①可得：MG=OH=3-a，OG=NH=-a，則N（3-a，a），代入拋物線的解析式可得：
-（3-a）
2+4（3-a）-3=a，
整理得：a
2-a=0，故a=0，a=1；
由于點(diǎn)M在第三象限，
所以a＜0，
故a=0、a=1均不合題意，此種情況不成立；
③當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，OG=a，MG=3-a；
同①得：N（3-a，a），在②中已經(jīng)求得此時(shí)a=0（舍去），a=1；
故M（1，-2），N（2，1）；
綜上可知：存在符合條件的N點(diǎn)，且坐標(biāo)為N（2，1）或（5，-8）．
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、圖形的旋轉(zhuǎn)變化、全等三角形的判定和性質(zhì)以及函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)意義等知識．需要注意的是（3）題中，由于點(diǎn)M的位置不確定，一定要根據(jù)點(diǎn)M所處的不同象限分類討論，以免漏解．
已知二次函數(shù)的圖象是經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（3，0），E（0，6）三點(diǎn)的一條拋物線．
閱讀材料：如圖1，過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”（h）．我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：S△ABC=
如圖，將拋物線y=-