Question

以AB為直徑作半圓O，AB=10，點(diǎn)C是該半圓上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AC、BC，并延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使DC=BC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E、交AC于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)OF．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)，求∠BAC的度數(shù)；

（2）如圖②，當(dāng)DE=8時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)；

（3）在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若點(diǎn)E始終在線段AB上，是否存在以點(diǎn)E、O、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段OE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

解：（1）聯(lián)結(jié)OC

∵C為DB中點(diǎn)     ∴OC=BC=OB

∴△OBC是等邊三角形

∴∠B=60°

∵AB為直徑

∴∠ACB=90°

∴∠BAC=30°       

 （2）聯(lián)結(jié)DA

∵AC垂直平分BD

∴AB=AD=10

∵DE=8，DE⊥AB

∴AE=6

∴BE=4

∵∠FAE+∠AFE=90°，∠CFD+∠CDF=90°

∴∠CDF=∠EAF

∵∠AEF=∠DEB=90°

∴△AEF∽△DEB

∴

∴EF=3                         -

（3）①當(dāng)交點(diǎn)E在O、A之間時(shí)，

若∠EOF=∠BAC，則OE=

若∠EOF=∠ABC，則OE=

②當(dāng)交點(diǎn)E在O、B之間時(shí)，OE=

綜上所述，OE=或或