Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是△ABD的內(nèi)切圓的圓心，過(guò)P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為點(diǎn)E、F，則四邊形PECF和矩形ABCD的面積之比等于（　�。�

A.1：2B.2：3C.3：4D.無(wú)法確定

Answer 1

【答案】A

【解析】

延長(zhǎng)EP交AD于M，延長(zhǎng)FP交AB于N，設(shè)AD＝a，AB＝b，BD＝c，⊙P的半徑為r，利用平行線的性質(zhì)得到PM⊥AD，PN⊥AB，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到PM＝PN＝r，根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓半徑的計(jì)算方法得到r＝，所以PEPF＝

，利用完全平方公式和平方差公式得到PEPF＝ab，然后計(jì)算四邊形PECF和矩形ABCD的面積之比．

解：延長(zhǎng)EP交AD于M，延長(zhǎng)FP交AB于N，如圖，設(shè)AD＝a，AB＝b，BD＝c，⊙P的半徑為r，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∵PE⊥BC，PF⊥CD，

∴PM⊥AD，PN⊥AB，

∵點(diǎn)P是△ABD的內(nèi)切圓的圓心

∴PM＝PN＝r，

∴r＝，

∴PF＝a﹣＝，PE＝b﹣＝，

∴PEPF＝

＝＝，

而a2+b2＝c2，

∴PEPF＝＝ab，

∴四邊形PECF和矩形ABCD的面積之比＝ab：ab＝1：2．

故選：A．