Question

【題目】如圖，在第一象限內(nèi)作射線(xiàn)OC，與x軸的夾角為30°，在射線(xiàn)OC上取點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H．在拋物線(xiàn)y=x2(x>0)上取點(diǎn)P，在y軸上取點(diǎn)Q，使得以P、O、Q為頂點(diǎn)，且以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的三角形與△AOH全等，則符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)是__________．

Answer 1

【答案】（，），（3，）,（，2），（，）

【解析】

此題應(yīng)分四種情況考慮：

①∠POQ=∠OAH=60°，此時(shí)A、P重合，可聯(lián)立直線(xiàn)OA和拋物線(xiàn)的解析式，即可得A點(diǎn)坐標(biāo)；

②∠POQ=∠AOH=30°，此時(shí)∠POH=60°，即直線(xiàn)OP：y=x，聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式可得P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出OQ、PQ的長(zhǎng)，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到點(diǎn)A的坐標(biāo)．

③當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°時(shí)，此時(shí)△QOP≌△AOH，由此求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；

④當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此時(shí)△OQP≌△AOH，由此求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；

①當(dāng)∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOH全等，那么A、P重合；

由于∠AOH=30°，設(shè)A坐標(biāo)為（a，b），

在直角三角形OAH中，tan∠AOH=tan30°== ，

設(shè)直線(xiàn)OA的方程為y=kx，把A的坐標(biāo)代入得k==，

∴直線(xiàn)OA的解析式： y=x，聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式，

得：，

解得 ， ；

∴A（，）；

②當(dāng)∠POQ=∠AOH=30°，此時(shí)△POQ≌△AOH；

易知∠POH=60°，則直線(xiàn)OP：y= x，聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式，得： ，

解得，；

∴P（，3），即可得A（3，）；

③當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°時(shí)，此時(shí)△QOP≌△AOH；

易知∠POH=60°，則直線(xiàn)OP：y=x，聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式，得：，

解得 ，；

∴P（，3），

∴OP=2，QP=2，

∴OH=OP=2，AH=QP=2，

∴A（2，2）；

④當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此時(shí)△OQP≌△AOH；

此時(shí)直線(xiàn)OP：y=x，聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式，得：，

解得 ， ；

∴P（， ），

∴QP=，OP=，

∴OH=QP=，AH=OP=，

∴A（，）．

綜上可知：符合條件的點(diǎn)A有四個(gè)，且坐標(biāo)為：（，），（3，），（，2），（，）．