Question

已知正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為4，E為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，（E與A，B點(diǎn)不重合），設(shè)AE=x，以E為頂點(diǎn)的內(nèi)接正方形的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x為何值時(shí)內(nèi)接正方形的面積最�。�

 

Answer 1

【答案】

．當(dāng)時(shí)，內(nèi)接正方形的面積最小

【解析】

試題分析：此題利用正方形的性質(zhì)，求得△AEH≌△DHG≌△CFG≌△BEF，再利用勾股定理列出函數(shù)關(guān)系式就可以解決問(wèn)題．

如圖，

∵ABCD與EFGH均為正方形，

∴∠A=∠B=∠C=∠D，EF=FG=GH=HE，

∠DHG+∠AHE=∠DHG+∠DGH=∠BEF+∠AEH=∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠GFC=90°，

∴∠AHE=∠DGH=∠GFC=∠BEF，

∴△AEH≌△DHG≌△CFG≌△BEF，

設(shè)AE=x，則BF=CG=DH=x，

BE=CF=DG=AH=4-x，

EF²=BE²+BF²=x²+（4-x）²=2x²-8x+16，

∴y=S_{正方形EFGH}=EF²=2x²-8x+16=2（x-2）²+8≥8，

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=EF²=2x²-8x+16，

當(dāng)且僅當(dāng)x=2，即E為AB中點(diǎn)時(shí)取最小值8．

考點(diǎn)：本題考查的是正方形的性質(zhì)、三角形全等及二次函數(shù)的最值

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)構(gòu)建二次函數(shù)的模型，根據(jù)二次函數(shù)的最值解決問(wèn)題．