Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB邊上一點，E是在AC邊上的一個動點（與點A、C不重合），DF⊥DE，DF與射線BC相交于點F．
（1）如圖2，如果點D是邊AB的中點，求證：DE=DF；
（2）如果AD：DB=m，求DE：DF的值；
（3）如果AC=BC=6，AD：DB=1：2，設(shè)AE=x，BF=y，
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
②以CE為直徑的圓與直線AB是否可相切？若可能，求出此時x的值；若不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接DC，由于△ABC是等腰直角三角形，點D是中點，所以AD是∠ACB的角平分線，根據(jù)“角角邊”容易判定△CED≌△BFD，進而證得DE=DF．
（2）先證△ADP∽△BDQ，進而證得DQ：DP=AD：DB=m，再證△DQF∽△PDE，進而證得DE：DF=DQ：DP=AD：DB=m．
（3）①根據(jù)已知條件，易證△DGE∽△FHD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出比例式，整理得到函數(shù)關(guān)系式．
②先假設(shè)相切，列出等式，看解的情況，若有解，則存在，若無解，則不存在．

解答：（1）證明：如圖2，連接DC．
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵點D是AB中點，
∴∠BCD=∠ACD=45°，CD=BD，
∴∠ACD=∠B=45°．
∵ED⊥DF，CD⊥AB，
∴∠EDC+∠CDF=90°，∠CDF+∠FDB=90°，
∴∠EDC=∠FDB，
∴△CED≌△BFD（ASA），
∴DE=DF；

（2）解：如圖1，作DP⊥AC，DQ⊥BC，垂足分別為點Q，P．
∵∠B=∠A，∠APD=∠BQD=90°，
∴△ADP∽△BDQ，
∴DP：DQ=AD：DB=m．
∵∠CPD=∠CQD=90°，∠C=90°，
∴∠QDP=90°，
∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，
∴∠QDF=∠PDE，
∵∠DQF=∠DPE=90°，
∴△DQF∽△DPE，
∴DE：DF=DP：DQ，
∴DE：DF=DP：DQ=AD：DB=m；

（3）解：①如備用圖1，作EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AB，垂足分別為點G、H．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，
∴AB=6

2

，
∵AD：DB=1：2，
∴AD=2

2

，DB=4

2

．
由∠AGE=∠BHF=90°，∠A=∠B=45°，
可得AG=EG=

2

2

x，BH=FH=

2

2

y，
GD=2

2

-

2

2

x，HD=4

2

-

2

2

y，
易證△DGE∽△FHD，
∴

DG

FH

=

GE

DH

，
∴

2 2 - 2 2 x

2 2 y

=

2 2 x

4 2 - 2 2 y

，
∴y=8-2x，
定義域是0＜x≤4．
②如備用圖2，取CE的中點O，作OM⊥AB于M．
可得CE=6-x，AO=3+

1

2

x，OM=

2

2

(3+

1

2

x)．
若以CE為直徑的圓與直線AB相切，則

6-x

2

=

2

2

(3+

1

2

x)，
解得x=18-12

2

，
∴當x=18-12

2

時，以CE為直徑的圓與直線AB相切．

點評：此題作為壓軸題，綜合考查函數(shù)、方程與圓的切線，三角形相似的判定與性質(zhì)等知識，是一個大綜合題，難度較大．