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(2004•海淀區(qū))已知:如圖所示,A、K為圓O上的兩點(diǎn),直線FN⊥MA,垂足為N,F(xiàn)N與圓O相切于點(diǎn)F,∠AOK=2∠MAK.
(1)求證:MN是圓O的切線;
(2)若點(diǎn)B為圓O上一動點(diǎn),BO的延長線交圓O于點(diǎn)C,交NF于點(diǎn)D,連接AC并延長交NF于點(diǎn)E.當(dāng)FD=2ED時,求∠AEN的余切值.

【答案】分析:(1)要證MN是圓O的切線,只要證得∠OAM=90°即可;
(2)要求它的余切值,需要求得EN:AN的值,根據(jù)切割線定理和已知條件找到線段之間的關(guān)系,從而根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求解.
解答:(1)證明:∵OA=OK,
∴∠3=∠AKO.
∵∠2+∠3+∠AKO=180°,∠AOK=2∠MAK,
∴∠MAK+∠OAK=90°;
∴MN是圓O的切線.

(2)解:∵M(jìn)N是圓O的切線,
∴∠1=∠B,
∴∠4=∠2.
又∵∠2=∠3,
∴∠4=∠3,
∴DC=DE.
∵NF切圓O于F,
∴∠OFN=90°,
又∵∠NAO=90°,
∴四邊形AOFN是矩形.
∵OA=OF,
∴矩形AOFN是正方形,
∴AN=NF=OF.
∵NF切圓O于F,
∴FD2=DC•DB.
∵FD=2ED,
設(shè)ED=x,則CD=ED=x,
∴(2x)2=x(x+2r),
解得x=r.
在△AEN中,∠ANE=90°,
cot∠AEN=,
cot∠AEN==3,
同理:x=r.
在△AEN中,∠ANE=90°.
cot∠AEN=,
∴∠AEN的余切值為3或
點(diǎn)評:此題綜合運(yùn)用了切線的判定和性質(zhì)、切割線定理以及銳角三角函數(shù)的概念.
練習(xí)冊系列答案
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(2004•海淀區(qū))已知:在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),以O(shè)A為直徑作圓B.若點(diǎn)D是x軸上的一動點(diǎn),連接AD交圓B于點(diǎn)C.
(1)當(dāng)tan∠DAO=時,求直線BC的解析式;
(2)過點(diǎn)D作DP∥y軸與過B、C兩點(diǎn)的直線交于點(diǎn)P,請任意求出三個符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo),并確定圖象經(jīng)過這三個點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式;
(3)若點(diǎn)P滿足(2)中的條件,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-3,3),求線段PM與PB的和的最小值,并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(2004•海淀區(qū))如示意圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A是x軸的負(fù)半軸上一點(diǎn),以AO為直徑的⊙P經(jīng)過點(diǎn)C(-8,4).點(diǎn)E(m,n)在⊙P上,且-10<m≤-5,n<0,CE與x軸相交于點(diǎn)M,過C點(diǎn)作直線CN交x軸于點(diǎn)N,交⊙P于點(diǎn)F,使得△CMN是以MN為底的等腰三角形,經(jīng)過E、F兩點(diǎn)的直線與x軸相交于點(diǎn)Q.
(1)求出點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)當(dāng)m=-5時,求圖象經(jīng)過E、Q兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式;
(3)當(dāng)點(diǎn)E(m,n)在⊙P上運(yùn)動時,猜想∠OQE的大小會發(fā)生怎樣的變化?請對你的猜想加以證明.

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(1)當(dāng)tan∠DAO=時,求直線BC的解析式;
(2)過點(diǎn)D作DP∥y軸與過B、C兩點(diǎn)的直線交于點(diǎn)P,請任意求出三個符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo),并確定圖象經(jīng)過這三個點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式;
(3)若點(diǎn)P滿足(2)中的條件,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-3,3),求線段PM與PB的和的最小值,并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(1)求出點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)當(dāng)m=-5時,求圖象經(jīng)過E、Q兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式;
(3)當(dāng)點(diǎn)E(m,n)在⊙P上運(yùn)動時,猜想∠OQE的大小會發(fā)生怎樣的變化?請對你的猜想加以證明.

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(2004•海淀區(qū))在△ABC中,∠C=90°,若cosB=,則sinA的值為( )
A.
B.
C.
D.

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