Question

（1）如圖所示，∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度數(shù)．
（2）如果（1）中∠AOB=α，其他條件不變，求∠MON的度數(shù)．
（3）如果（1）中∠BOC=β（β為銳角），其他條件不變，求∠MON的度數(shù)．
（4）從（1）（2）（3）的結(jié)果你能看出什么規(guī)律？
（5）線段的計(jì)算與角的計(jì)算存在著緊密的聯(lián)系，它們之間可以互相借鑒解法，請(qǐng)你模仿（1）～（4），設(shè)計(jì)一道以線段為背景的計(jì)算題，并寫出其中的規(guī)律來？

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)題中已知的兩個(gè)角度數(shù)，求出角AOC的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義可知角平分線分成的兩個(gè)角都等于其大角的一半，分別求出角MOC和角NOC，兩者之差即為角MON的度數(shù)；
（2）（3）的計(jì)算方法與（1）一樣．
（4）通過前三問求出的角MON的度數(shù)可發(fā)現(xiàn)其都等于角AOB度數(shù)的一半．
（5）模仿線段的計(jì)算與角的計(jì)算存在著緊密的聯(lián)系，也在已知條件中設(shè)計(jì)兩條線段的長(zhǎng)，設(shè)計(jì)兩個(gè)中點(diǎn)，求中點(diǎn)間的線段長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=90°+30°=120°，
又OM平分∠AOC，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC=60°，
又∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=

1

2

∠BOC=15°
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=45°；

（2）∵∠AOB=α，∠BOC=30°，
∴∠AOC=α+30°，
又OM平分∠AOB，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC=

α

2

+15°，
又∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=

1

2

∠BOC=15°
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=

α

2

；

（3）∵∠AOB=90°，∠BOC=β，
∴∠AOC=90°+β，
又OM平分∠AOC，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC=

β

2

+45°，
又∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=

1

2

∠BOC=

β

2

∴∠MON=∠MOC-∠NOC=45°；

（4）從（1）（2）（3）的結(jié)果可知∠MON=

1

2

∠AOB；

（5）

①已知線段AB的長(zhǎng)為20，線段BC的長(zhǎng)為10，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)；
②若把線段AB的長(zhǎng)改為a，其余條件不變，求線段MN的長(zhǎng)；
③若把線段BC的長(zhǎng)改為b，其余條件不變，求線段MN的長(zhǎng)；
④從①②③你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律．
規(guī)律為：MN=

1

2

AB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)會(huì)對(duì)角平分線概念的理解，會(huì)求角的度數(shù)，同時(shí)考查了學(xué)會(huì)歸納總結(jié)規(guī)律的能力，以及會(huì)根據(jù)角和線段的緊密聯(lián)系設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)的能力．