Question

如圖，⊙A與⊙B內切，⊙A與⊙C外切，⊙A，⊙B，⊙C的半徑分別為2＋，，2－，∠BAC＝60°，求BC長．

Answer 1

答案：
解析：

解析：過B點作BD⊥AC于D． 　　∵⊙A與⊙B內切， 　　⊙A與⊙C外切，且⊙A，⊙B，⊙C的半徑分別為2＋，，2－． 　　∴AB＝rA－rB＝2＋－＝2． 　　AC＝rA＋rC＝2＋＋2－＝3＋． 　　∵∠BAC＝60°， 　　∴AD＝AB·cos∠BAC＝AB·cos60°， 　　∴AD＝2×＝． 　　∴BD＝AB·sin∠BAC＝AB·sin60°． 　　∴BD＝2×＝3． 　　∴DC＝AC－AD＝3＋－＝3． 　　∵BC2＝BD2＋DC2， 　　∴BC2＝(3)2＋(3)2＝36．BC＝6． 　　或由BD＝DC，得∠C＝45°，∴BC＝＝BD＝6． 　　思路點撥：當兩圓相切時，有兩圓圓心與切點共線．因此，當兩圓內切時，圓心距為兩圓半徑之差；當兩圓外切時，兩圓圓心距為兩圓半徑之和．因此，AB＝rA－rB，AC＝rA＋rC．但注意，△ABC不一定是Rt△，利用特殊角∠BAC＝60°，過B點作高BD，構造兩個直角三角形，進而利用勾股定理求得BC長． 　　評注：兩圓相切時，要注意說明兩圓心與切點三點共線，設法構成直角三角形利用勾股定理解題．