Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連接DE并延長，與BC的延長線交于點F，連接OE．求證：
（1）BD=BF；
（2）∠EOD=2∠AED．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線性質得出OE⊥AC，推出OE∥BC，推出∠OED=∠F，根據等腰三角形性質推出∠ODE=∠OED，推出∠ODE=∠F即可；
（2）根據的切線的性質∠OEA=90°，推出∠AED+∠DEO=90°①，根據等腰三角形性質和三角形的內角和定理求出∠DOE=180°-2∠DEO，推出∠DOE+∠DEO=90°②，由①②即可求出答案．
解答：（1）證明：∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴OE∥BC，
∴∠OED=∠F，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF；

（2）∵AC是⊙O的切線，
∴∠OEA=90°，
即∠AED+∠DEO=90°①，
∵OE=OD，
∴∠EDO=∠DEO，
∴∠DOE=180°-2∠DEO，
即∠DOE+∠DEO=90°②，
由①②得：∠AED-∠DOE=0，
則∠DOE=2∠AED．
點評：本題綜合考查了切線的性質，平行線的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，三角形的內角和定理等知識點，主要考查學生的推理能力，本題綜合性比較強，有一定的難度．