Question

已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，AH=5，CD=，點(diǎn)E在⊙O上，射線AE與射線CD相交于點(diǎn)F，設(shè)AE=x，DF=y．
（1）求⊙O的半徑；
（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在弧AD上時(shí)，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）如果EF=，求DF的長．

Answer 1

解：（1）連接OD，設(shè)⊙O的半徑OA=OD=r，
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴DH=DC=×4=2，
在Rt△OHD中，∵OD²-OH²=DH²，OH²=（AH-OA）²=（5-r）²，
∴r²-（5-r）²=（2）²，解得r=，
∴⊙O的半徑為；

（2）作OG⊥AE，垂足為G，如圖，
∴AG=AE=x，
∴△AOG∽△AFH，
∴AG：AH=AO：AF，即x：5=：AF，解得AF=，
∴FH===，
∵DF=FH-DH，
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=-2，
定義域?yàn)?＜x≤3；

（3）當(dāng)點(diǎn)E在弧AD上時(shí)，如圖，∵AF-AE=EF，即-x=，
化為整式方程得2x²+3x-90=0，解得x₁=-（舍去），x₂=6，
∴DF=y=-2=；
當(dāng)點(diǎn)E在弧DB上時(shí)，如圖，∵AE-AF=EF，即x-=，
化為整式方程得2x²-3x-90=0，解得x₁=，x₂=-6（舍去），
∵AB為直徑，
∴∠E=90°，
∴△AHF∽△AEB，BE==，
∴FH：BE=AH：AE，即FH：=5：，解得FH=
∴DF=DH-FH=2-
當(dāng)點(diǎn)E在BC弧上時(shí)，同上得FH=，
∴DF=DH+FH=2+．
綜上，DF的長為或2-或2+．
分析：（1）連接OD，設(shè)⊙O的半徑OA=OD=r，根據(jù)垂徑定理得DH=DC=2，在Rt△OHD中利用勾股定理得到r²-（5-r）²=（2）²，然后解方程即可得到圓的半徑；
（2）作OG⊥AE，垂足為G，根據(jù)垂徑定理得AG=AE=x且易得△AOG∽△AFH，則AG：AH=AO：AF，可解得AF=，再在Rt△AHF中利用勾股定理得到FH==，然后利用DF=FH-DH即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式，當(dāng)E與D重合時(shí)，x最大，則有0＜x≤3；
（3）分類討論：當(dāng)點(diǎn)E在弧AD上時(shí)，由AF-AE=EF可解出x=6，再代入y與x的關(guān)系式中得到DF=；當(dāng)點(diǎn)E在弧DB上時(shí)，由AE-AF=EF，可求得x=，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算出BE=，再利用△AHF∽△AEB得到FH：BE=AH：AE，解得FH=，所以DF=DH-FH=2-；當(dāng)點(diǎn)E在BC弧上時(shí)，同上得FH=，然后利用DF=DH+FH計(jì)算即可．
點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：垂徑定理和圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明或幾何計(jì)算中常用到；利用三角形相似比或勾股定理進(jìn)行計(jì)算幾何是常用的方法．