Question

【題目】如圖，E是正方形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)A為中心把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°．
（1）在圖中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；
（2）若旋轉(zhuǎn)后E點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)記為M，點(diǎn)F在BC上，且∠EAF=45°，連接EF． ①求證：△AMF≌△AEF；
②若正方形的邊長為6，AE=3 ，求EF．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，△ABM為所作；

（2）①證明：∵ABCD 是正方形，

∴∠BAD=90°，

∵△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABM，

∴AM=AE，∠MAE=90°，

又∵∠EAF=45°，

∴∠MAF=45°，

∴∠MAF=∠EAF，

在△AMF和△AEF中

，

∴△AMF≌△AEF；

②解：∵△AMF≌△AEF，

∴EF=MF，

即ME=BF+MB，

而BM=DE，

∴EF=BF+DE，

在Rt△ADE中，DE= =3，

∴CE=6﹣3=3，

設(shè)EF=x，則BF=x﹣3，

∴CF=6﹣（x﹣3）=9﹣x，

在Rt△CEF中，∵CF2+CE2=EF2，

∴（9﹣x）2+32=x2，解得x=5，

解EF=5．

故答案為5．

【解析】（1）在CB的延長線上截取BM=DE，則△ABM滿足條件；（2））①由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得AM=AE，∠MAE=90°，則∠MAF=∠EAF=45°，則可根據(jù)“SAS”判斷△AMF≌△AEF；②由△AMF≌△AEF得到EF=MF，即ME=BF+MB，加上BM=DE，所以EF=BF+DE，再利用勾股定理計(jì)算出DE=3，則CE=3，設(shè)EF=x，則BF=x﹣3，CF=9﹣x，然后在Rt△CEF中利用勾股定理得到（9﹣x）2+32=x2 ， 然后解方程求出x即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．