Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，M是的中點，OM交⊙O的切線BP于點P．
（1）判斷直線PC和⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若sin∠BAC=0.8，⊙O的半徑為2，求線段PC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，證OC⊥PC即可，觀察圖形，可利用全等三角形來求解；已知的等量條件有：OB=OC，OP=OP，而M是弧BC的中點，由圓心角、弧的關系得∠COM=∠BOM，由此可利用SAS判定△POC≌△POB，即可得PC⊥OC，由此得證．
（2）首先由圓周角定理可證得∠POB=∠BAC，因此可在Rt△POB中，通過解直角三角形求得PB的長，進而可由切線長定理得到PC的長．
解答：解：（1）相切；
證明：連接OC；
∵點M是弧BC的中點，
∴∠BOM=∠MOC；
又∵OB=OC，OP=OP，
∴△POC≌△POB，
∴∠PBO=∠PCO；
已知PB是⊙O的切線，即∠PBO=90°；
故∠PCO=∠PBO=90°，即PC⊥OC；
而OC是⊙O的半徑，所以PC是⊙O的切線．

（2）由圓周角定理知：∠BAC=∠BOC=∠BOM，
∴sin∠BOM=sin∠BAC=0.8；
易知：tan∠BOM=，
則PB=OB•tan∠BOM=；
∵PC、PB都是⊙O的切線，且切點為C、B，
由切線長定理知：PC=PB=．
點評：此題考查了切線的性質和判定、全等三角形以及解直角三角形等相關知識的綜合應用，難度適中．