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  • 已知拋物線y=-ax2+2ax+b與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C.
    (1)直接寫出拋物線的對(duì)稱軸,及拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo);
    (2)當(dāng)點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙P上時(shí),求拋物線的解析式;
    (3)坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)M和(2)中拋物線上的三點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
    【答案】分析:(1)拋物線y=-ax2+2ax+b的對(duì)稱軸,可以根據(jù)公式直接求出,拋物線與x軸的另一交點(diǎn)與A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,因而交點(diǎn)就可以求出.
    (2)AB的長(zhǎng)度可以求出,連接PC,在直角三角形OCP中,根據(jù)勾股定理就可以求出C點(diǎn)的坐標(biāo),把這點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,就可以求出解析式.
    (3)本題應(yīng)分AC或BC為對(duì)角線和以AB為對(duì)角線三種情況進(jìn)行討論,當(dāng)以AC或BC為對(duì)角線時(shí),點(diǎn)M在x軸上方,此時(shí)CM∥AB,且CM=AB.就可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo).當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí),點(diǎn)M在x軸下方易證△AOC≌△BNM,可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo).
    解答:解:(1)對(duì)稱軸是直線:x=1,點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,0).(2分)
    說明:每寫對(duì)1個(gè)給(1分),“直線”兩字沒寫不扣分.

    (2)如圖,連接PC,
    ∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A(-1,0)、B(3,0),
    ∴AB=4.
    ∴PC=AB=×4=2
    在Rt△POC中,
    ∵OP=PA-OA=2-1=1,
    ∴OC=,
    ∴b=(3分)
    當(dāng)x=-1,y=0時(shí),-a-2a+=0
    ∴a=(4分)
    ∴y=-x2+x+.(5分)

    (3)存在.(6分)理由:如圖,連接AC、BC.
    設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(x,y).
    ①當(dāng)以AC或BC為對(duì)角線時(shí),點(diǎn)M在x軸上方,此時(shí)CM∥AB,且CM=AB.
    由(2)知,AB=4,
    ∴|x|=4,y=OC=
    ∴x=±4.
    ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(4,)或(-4,).(9分)
    說明:少求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)扣(1分).
    ②當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí),點(diǎn)M在x軸下方.
    過M作MN⊥AB于N,則∠MNB=∠AOC=90度.
    ∵四邊形AMBC是平行四邊形,
    ∴AC=MB,且AC∥MB.
    ∴∠CAO=∠MBN.
    ∴△AOC≌△BNM.
    ∴BN=AO=1,MN=CO=
    ∵OB=3,
    ∴0N=3-1=2.
    ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(2,-).(12分)
    綜上所述,坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)A、B、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
    其坐標(biāo)為M1(4,),M2(-4,),M3(2,-).
    說明:①綜上所述不寫不扣分;②如果開頭“存在”二字沒寫,但最后解答全部正確,不扣分
    點(diǎn)評(píng):本題主要考查了拋物線的軸對(duì)稱性,是與勾股定理相結(jié)合的題目.難度較大.
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    如圖,已知拋物線y=ax+bx-4經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),B(4,O)與y軸交于C點(diǎn).

    (1)求拋物線的解析式.
    (2)若D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),P為拋物線第三象限上一動(dòng)點(diǎn),連PO交BD于M點(diǎn),問是否存在一點(diǎn)P,使
    OM
    OP
    =
    2
    3
    ?若存在,求P點(diǎn)坐標(biāo);不存在,請(qǐng)說明理由.
    (3)G為拋物線第四象限上一點(diǎn),OG交BC于F,求當(dāng)GF:OF的比值最大時(shí)G點(diǎn)的坐標(biāo).

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    作業(yè)寶
    (1)求拋物線的解析式.
    (2)若D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),P為拋物線第三象限上一動(dòng)點(diǎn),連PO交BD于M點(diǎn),問是否存在一點(diǎn)P,使數(shù)學(xué)公式=數(shù)學(xué)公式?若存在,求P點(diǎn)坐標(biāo);不存在,請(qǐng)說明理由.
    (3)G為拋物線第四象限上一點(diǎn),OG交BC于F,求當(dāng)GF:OF的比值最大時(shí)G點(diǎn)的坐標(biāo).

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    (1)求此拋物線的解析式;

    (2)若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)A的中點(diǎn)M出發(fā)先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)E),再到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)F),最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo),并求出這個(gè)最短總路徑的長(zhǎng).

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    (2)若拋物線的頂點(diǎn)為P,求∠PAC的正切值

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