Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸、y軸交于A、B兩點，與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象相交于C、D兩點，分別過C、D兩點作y軸，x軸的垂線，垂足為E、F，連接CF、DE，有下列結(jié)論：①△CEF與△DEF的面積相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤△CEF的面積等于

k

2

，其中正確的個數(shù)有（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：此題要根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)進行求解，解決此題的關(guān)鍵是要證出CD∥EF，可從①問的面積相等入手；△DFE中，以DF為底，OF為高，可得S_△DFE=

1

2

|x_D|•|y_D|=

1

2

k，同理可求得△CEF的面積也是

1

2

k，因此兩者的面積相等；若兩個三角形都以EF為底，那么它們的高相同，即E、F到AD的距離相等，由此可證得CD∥EF，然后根據(jù)這個條件來逐一判斷各選項的正誤．

解答：解：設(shè)點D的坐標為（x，

k

x

），則F（x，0）．
由函數(shù)的圖象可知：x＞0，k＞0．
∴S_△DFE=

1

2

DF•OF=

1

2

|x_D|•|

k

xD

|=

1

2

k，
同理可得S_△CEF=

1

2

k，故⑤正確；
故S_△DEF=S_△CEF．故①正確；
若兩個三角形以EF為底，則EF邊上的高相等，故CD∥EF．故②正確；
③條件不足，無法得到判定兩三角形全等的條件，故③錯誤；
④法一：∵CD∥EF，DF∥BE，
∴四邊形DBEF是平行四邊形，
∴S_△DEF=S_△BED，
同理可得S_△ACF=S_△ECF；
由①得：S_△DBE=S_△ACF．
又∵CD∥EF，BD、AC邊上的高相等，
∴BD=AC，故④正確；
法2：∵四邊形ACEF，四邊形BDEF都是平行四邊形，
而且EF是公共邊，
即AC=EF=BD，
∴BD=AC，故④正確；
因此正確的結(jié)論有4個：①②④⑤．
故選C．

點評：本題通過反比例函數(shù)的性質(zhì)來證圖形的面積相等，根據(jù)面積相等來證線段的平行或相等，設(shè)計巧妙，難度較大．