Question

如圖，△ABC中，∠ABC=Rt∠，AB=BC，點M是BC邊上任意一點，點D是AB的延長線上一點，且BM=BD；又點E、F分別是CD、AM邊上的中點，連接FE、EB．
（1）求證：△AMB≌△CDB；
（2）點M在BC邊上移動時，試問∠BEF的度數(shù)是否會發(fā)生變化？若不變，請求出∠BEF的度數(shù)；若變化，請說明理由；
（3）若，且設(shè)∠MAB=α，試求cosα的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出∠ABM=∠CBD，根據(jù)SAS推出全等即可；
（2）根據(jù)全等求出AM=DC，推出BE=BF，求出∠EBF=90°，即可得出∠BEF=45°；
（3）設(shè)EF=3a，AC=5a，由勾股定理求出AB=BC=a，BF=BE=a，求出AM=2BF=3a，解直角三角形求出即可．
解答：（1）證明：∵∠ABC=90°，
∴∠ABM=∠CBD=90°，
∵在△AMB和△CDB中
，
∴△AMB≌△CDB（SAS）；

（2）解：∠BEF的度數(shù)不發(fā)生變化，
理由是：連接BF，
∵△AMB≌△CDB，
∴∠DCB=∠MAB，AM=DC，
∵E、F分別為DC、AM中點，∠ABM=∠CBD=90°，
∴BE=DE=CECD，BF=MF=AF=AM，
∴BE=BF，∠BAF=∠FBA，∠EBD=∠D，
∵∠D+∠DCB=90°，
∴∠FBA+∠EBD=90，
∴∠FBE=180°-90°=90°，
∵BE=BF，
∴∠BEF=45°；

（3）解：設(shè)EF=3a，AC=5a，
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴由勾股定理得：AB=BC=a，
同理：BF=BE=a，
∴AM=2BF=3a，
∴cosα=cos∠MAB===．
點評：本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線，全等三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△AMB≌△CDB和求出△EBF是等腰直角三角形．