Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)M在x軸的正半軸上，⊙M交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C、D兩點(diǎn)，且C為弧AE的中點(diǎn)，AE交y軸于G點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），AE=4

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）連接MG、BC，求證：MG∥BC

Answer 1

【答案】(1)（0，4）．(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)，即求出OC的長(zhǎng)．根據(jù)垂徑定理可得出弧CD=2弧AC，而題中已經(jīng)告訴了C是弧AE的中點(diǎn)，即弧AE=2弧AC，即弧CD=弧AE，因此CD=AE，那么OC=AE=4，即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）由于無(wú)法直接證明∠OMG=∠OBC來(lái)得出兩直線平行，因此可通過(guò)相似三角形來(lái)求解，可設(shè)出圓的半徑，然后分別求出OG、OM、OB的長(zhǎng)，然后通過(guò)證OG、OM，OC、OB對(duì)應(yīng)成比例來(lái)得出△OMG與△OBC相似來(lái)得出∠OMG=∠OBC，進(jìn)行得出所求的結(jié)論.

試題解析：（1）∵直徑AB⊥CD，

∴CO=CD，，

∵C為的中點(diǎn)，

∴，

∴，

∴CD=AE，

∴CO=CD=4，

∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）．

（2）設(shè)半徑AM=CM=r，則OM=r-2，

由OC2+OM2=MC2得：

42+（r-2）2=r2，

解得：r=5，

∴OM=r-OA=3

∵∠AOC=∠ANM=90°，

∠EAM=∠MAE，

∴△AOG∽△ANM，

∴，

∵MN=OM=3，

即，

∴OG=

∵，，

∴，

∵∠BOC=∠BOC，

∴△GOM∽△COB，

∴∠GMO=∠CBO，

∴MG∥BC．