Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，，⊙B的半徑長(zhǎng)為1，⊙B交邊CB于點(diǎn)P，點(diǎn)O是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）如圖1，將⊙B繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得到⊙M，請(qǐng)判斷⊙M與直線AB的位置關(guān)系；
（2）如圖2，在（1）的條件下，當(dāng)△OMP是等腰三角形時(shí)，求OA的長(zhǎng)； 
（3）如圖3，點(diǎn)N是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，如果以NB為半徑的⊙N和以O(shè)A為半徑的⊙O外切，設(shè)NB=y，OA=x，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AB，垂足為D，根據(jù)MB=2，結(jié)合sin∠B的值，可得出MD的長(zhǎng)，與圓M的半徑進(jìn)行比較即可得出⊙M與直線AB的位置關(guān)系；
（2）根據(jù)（1）得出MD＞MP，OM＞MP，從而△OMP是等腰三角形可分兩種情況討論，①OP=MP，②OM=OP，分別運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求解OA即可；
（3）先表示出NF、BF，從而可得出OF的表達(dá)式，由⊙N和⊙O外切，可得出ON=x+y，在Rt△NFO中利用勾股定理，可得出y與x的關(guān)系式，也可得出自變量的定義域．
解答：解：（1）⊙M與直線AB相離，理由如下：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵，AC=6，
∴AB=10，．
過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AB，垂足為D，
在Rt△MDB中，∠MDB=90°，，
∵M(jìn)B=2，
∴＞1，
故可得⊙M與直線AB相離；

（2）∵＞1=MP，
∴OM＞MP．
分兩種情況討論，
1°當(dāng)OP=MP時(shí)，此時(shí)OP=MP=PB，
故易得∠MOB=90°，
∴，
∴OB=，
∴OA=；
2°當(dāng)OM=OP時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC，垂足為E
EB=EP+PB=+1=，
此時(shí)，
∴OB=，
∴OA=．
綜上可得，當(dāng)△OMP是等腰三角形時(shí)，OA的長(zhǎng)為或；

（3）連接ON，過(guò)點(diǎn)N作NF⊥AB，垂足為F．
在Rt△NFB中，∠NFB=90°，，
設(shè)NB=y，則NF=y，BF=y，
故可得OF=10-x-y，
∵⊙N和⊙O外切，
∴ON=x+y，
在Rt△NFO中，∠NFO=90°，則ON²=OF²+NF²，
即，
故可得，定義域?yàn)椋?＜x＜5．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于圓的綜合題，涉及了直線與圓的位置關(guān)系、勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難點(diǎn)在第二問(wèn)和第三問(wèn)，解答時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用，另外要求我們能將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通．