Question

如圖，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE、始終經(jīng)過點A，EF與AC交于M點．

(1)求證：△ABE∽△ECM；

(2)探究：在△DEF運動過程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由；

(3)當(dāng)線段AM最短時，求重疊部分的面積．

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)證明：∵AB＝AC， 　　∴∠B＝∠C， 　　∵△ABC≌△DEF， 　　∴∠AEF＝∠B， 　　又∵∠AEF＋∠CEM＝∠AEC＝∠B＋∠BAE， 　　∴∠CEM＝∠BAE， 　　∴△ABE∽△ECM； 　　(2)解：∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C， 　　∴∠AME＞∠AEF， 　　∴AE≠AM； 　　當(dāng)AE＝EM時，則△ABE≌△ECM， 　　∴CE＝AB＝5， 　　∴BE＝BC－EC＝6－5＝1， 　　當(dāng)AM＝EM時，則∠MAE＝∠MEA， 　　∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM， 　　即∠CAB＝∠CEA， 　　又∵∠C＝∠C， 　　∴△CAE∽△CBA， 　　∴， 　　∴CE＝， 　　∴BE＝6－＝； 　　(3)解：設(shè)BE＝x， 　　又∵△ABE∽△ECM， 　　∴， 　　即：， 　　∴CM＝－＋x＝－(x－3)2＋， 　　∴AM＝－5－CM═(x－3)2＋， 　　∴當(dāng)x＝3時，AM最短為， 　　又∵當(dāng)BE＝x＝3＝BC時， 　　∴點E為BC的中點， 　　∴AE⊥BC， 　　∴AE＝＝4， 　　此時，EF⊥AC， 　　∴EM＝＝， 　　S△AEM＝．

提示：

相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．