Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于E，CF平分∠ACD交AD于F．

（1）試說明四邊形AECF為平行四邊形；

（2）探索：當矩形ABCD的邊AB和BC滿足什么數量關系時，四邊形AECF為菱形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當時，四邊形AECF為菱形.

【解析】

（1）先證明，再利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形得證.（2）逆向推理，當四邊形AECF為菱形時，則有EA=EC，進而可得到∠EAC=∠ACE=30°，

所以可知.

（1）證明：在矩形ABCD中，

AD∥BC,AB∥CD，

∴ ,

∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD，

∴,,

∴,

∴AE∥CF,

又AF∥CE,

∴四邊形AECF為平行四邊形.

（2）當時，四邊形AECF為菱形.理由如下：

在Rt△ABC中，，

則∠BAC=60°，∠BCA=30°，

∵AE平分∠BAC，

∴=30°，

∴∠EAC=∠ACE=30°，

∴EA=EC,

又由（1）已證，四邊形AECF為平行四邊形，

∴四邊形AECF為菱形.

即，當時，四邊形AECF為菱形.