Question

【題目】如圖1，水平放置一個(gè)三角板和一個(gè)量角器，三角板的邊AB和量角器的直徑DE在一條直線上，∠ACB=90°，∠BAC=30°，OD=3cm，開(kāi)始的時(shí)候BD=1cm，現(xiàn)在三角板以2cm/s的速度向右移動(dòng)．

（1）當(dāng)點(diǎn)B于點(diǎn)O重合的時(shí)候，求三角板運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

（2）三角板繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)B點(diǎn)和E點(diǎn)重合時(shí)，AC與半圓相切于點(diǎn)F，連接EF，如圖2所示．

①求證：EF平分∠AEC；

②求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）2s（2）①證明見(jiàn)解析，②

【解析】試題分析：（1）由當(dāng)點(diǎn)B于點(diǎn)O重合的時(shí)候，BO=OD+BD=4cm，又由三角板以2cm/s的速度向右移動(dòng)，即可求得三角板運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

（2）①連接OF，由AC與半圓相切于點(diǎn)F，易得OF⊥AC，然后由∠ACB=90°，易得OF∥CE，繼而證得EF平分∠AEC；②由△AFO是直角三角形，∠BAC=30°，OF=OD=3cm，可求得AF的長(zhǎng)，由EF平分∠AEC，易證得△AFE是等腰三角形，且AF=EF，則可求得答案．

試題解析：(1)∵當(dāng)點(diǎn)B于點(diǎn)O重合的時(shí)候，BO=OD+BD=4cm，

∴t=42=2(s)；

∴三角板運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：2s；

(2)①證明：連接O與切點(diǎn)F，則OF⊥AC，

∵∠ACE=90°，

∴EC⊥AC，

∴OF∥CE，

∴∠OFE=∠CEF，

∵OF=OE，

∴∠OFE=∠OEF，

∴∠OEF=∠CEF，

即EF平分∠AEC；

②由①知：OF⊥AC，

∴△AFO是直角三角形，

∵∠BAC=30°，OF=OD=3cm，

∴tan30°=3AF，

∴AF=3cm，

由①知：EF平分∠AEC，

∴∠AEF=∠CEF=∠AEC=30°，

∴∠AEF=∠EAF，

∴△AFE是等腰三角形，且AF=EF，

∴EF=3cm.