Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AD垂直于過點C的切線，垂足為D．

(1)求證：AC平分BAD；

(2)若AC＝2，CD＝2，求⊙O的直徑．

Answer 1

考點：

切線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)。

專題：

計算題。

分析：

(1)連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)判斷出AD∥OC，得到∠DAC＝∠OCA，再根據(jù)OA＝OC得到∠OAC＝∠OCA，

可得AC平分∠BAD．

(2)連接BC，得到△ADC∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出AB的長．

解答：

解：(1)如圖：連接OC，

∵DC切⊙O于C，

∴AD⊥CD，

∴∠ADC＝∠OCF＝90°，

∴AD∥OC，

∴∠DAC＝∠OCA，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

即AC平分∠BAD．

(2)連接BC．

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°＝∠ADC，

∵∠OAC＝∠OCA，

∴△ADC∽△ACB，

∴，

在Rt△ADC中，AC＝2，CD＝2，

∴AD＝4，

∴，

∴AB＝5．

點評：

本題考查了切線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，是一道綜合性較強的題目，作出相應(yīng)輔助線是解題的關(guān)鍵．