Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2-11ax+24a（a＜0）與x軸交于B、C兩點（點B在點C的左側），拋物線上另有一點A在第一象限內，且∠BAC=90°．

（1）求線段OC的長和點B的坐標；

（2）連接OA，將△OAC沿x軸翻折后得△ODC，當四邊形OACD是菱形時，求此時拋物線的解析式；

（3）如圖2，折垂直于x軸的直線l：x=n與（2）中所求的拋物線交于點M，與CD交于點N，若直線l沿x軸方向左右平移，且交點M始終位于拋物線上A、C兩點之間時，試探究：當n為何值時，四邊形AMCN的面積取得最大值，并求這個最大值；

（4）在（3）的條件下，當取得最大值時，四邊形ADNM是否為平行四邊形？直接回答 （是或不是）．如果不是，請直接寫出此時的點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）OC=8，B點坐標為（3，0）；（2）拋物線的解析式為y=-x2+x-12；（3）最大值為9；（4）不，M點的坐標為（5，3）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)與x軸交點坐標求法，解一元二次方程即可得出；

（2）利用菱形性質得出AD⊥OC，進而得出△ACE∽△BAE，即可得出A點坐標，進而求出二次函數(shù)解析式；

（3）首先求出過C、D兩點的坐標的直線CD的解析式，進而利用S四邊形AMCN=S△AMN+S△CMN求出即可；

（4）由條件可求得AD和MN，此時AD≠MN，可判定四邊形ADNM不是平行四邊形，由（3）容易求得M的坐標．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2-11ax+24a （a＜0）與x軸交于B、C兩點（點B在點C的左側），

∴令y=0可得0=ax2-11ax+24a，解得x1=3，x2=8，

∴OC=8，B點坐標為（3，0）；

（2）如圖1，連接AD，交OC于點E，

∵四邊形OACD是菱形，

∴AD⊥OC，OE=EC=OC=×8=4，

∴BE=4-3=1，

又∵∠BAC=90°，

∴△ACE∽△BAE，

∴，

∴AE2=BECE=1×4，

∴AE=2，

∴點A的坐標為（4，2），

把點A的坐標（4，2）代入拋物線y=ax2-11ax+24a，得a=-，

∴拋物線的解析式為y=-x2+x-12；

（3）如圖2，連接AD，交OC于點E，

∵直線x=n與拋物線交于點M，

∴點M的坐標為（n，-n2+n-12），

由（2）知，點D的坐標為（4，-2），

設直線CD的解析式為y=kx+b，

把C、D兩點坐標代入可得，解得，

∴直線CD的解析式為y=x-4，

∴點N的坐標為（n，n-4），

∴MN=（-n2+n-12）-（n-4）=-n2+5n-8，

∴S四邊形AMCN=S△AMN+S△CMN=MNCE=（-n2+5n-8）×4=-（n-5）2+9，

∴當n=5時，四邊形AMCN的面積有最大值，最大值為9；

（4）由（3）可知n=5，且MN=9，

∵A（4，2），D（4，-2），

∴AD=4≠MN，

∴四邊形ADNM不是平行四邊形，

當n=5時，代入y=-n2+n-12可求得y=3，

∴此時M點的坐標為（5，3）.