Question

如圖，拋物線過原點O，與x軸交于A，點D（4，2）在該拋物線上，過點D作CD∥x軸，交拋物線于點C，交y軸于點B，連結CO、AD.

1.求拋物線的解析式及點C的坐標

2.將△BCO繞點O按順時針旋轉90°后                                      再沿x軸對折得到△OEF（點C與點E對應），判斷點E是否落在拋物線上，并說明理由；

3.設過點E的直線交OA于點P，交CD邊于點Q. 問是否存在點P，使直線PQ分梯形AOCD的面積為1∶3兩部分？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

1.；C(-1,2)

2.點E落在拋物線上. 理由如下：

由旋轉、軸對稱的性質知：

點E點的坐標為（2，-1）

當時，

點E落在拋物線上.    

3.存在點P（a，0）. 如上圖記S_梯形CQPO= S₁，S_梯形ADQP = S₂，易求S_梯形ABCD = 8.

當PQ經(jīng)過點F（3，0）時，易求S₁=5，S₂ = 3，此時S₁∶S₂不符合條件，故a≠3.

設直線PQ的解析式為y = kx+b(k≠0)，則，解得，

∴. 由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2）

∴CQ = 3a－5，P O= a，.

下面分兩種情形：①當S₁∶S₂ = 1∶3時，= 2；

∴4a－75= 2，解得；

②當S₁∶S₂ = 3∶1時，；   ∴4a－75= 6，解得；

綜上所述：所求點P的坐標為（，0）或（，0）   

【解析】（1）根據(jù)O、D兩點的坐標求出拋物線的解析式，然后利用拋物線的性質求出C點的坐標；

（2）利用旋轉、軸對稱的性質求出E點的坐標，從而得出點E在拋物線上；

（3）分二種情況討論：①梯形COPQ面積:梯形DAPQ面積=1：3，②梯形COPQ面積:梯形DAPQ面積=3：1.